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Bnlletin de l'Académie Impériale 



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des points qui se trouveut sur une même droite l' pas- 

 sant par le pôle p de la droite 0. 



Ces deux quadrilatères devenant infiniment voisins, 

 les dits quatre points dlntcrsection deviennent les 

 points de contact de ces droites avec les coniques K, (C). 



La droite I' devient la polaire du point o par rap- 

 port à K et \a polaire du point o' par rapport à (C). 

 Quand le point o parcourt la droite 0, le point o 

 glisse sur la droite O' et la polaire /' pivote autour 

 du pôle j) de la droite ])ar rapport à K ou sur le 

 pôle p de la droite 0' par rapport à (C). 



Il est clair, (lue chaque point o de la droite four- 

 nit deux tangentes et ses points de contact avec la 

 conique (C). Ces tangentes peuvent être construites 

 comme nous avons montré d'ailleurs, et la polaire P 

 du point par rapport à K rencontre ces tangentes 

 en leurs points de contact avec (C). 



4. Considérons le point de rencontre m de la droite 

 M avec la conique K. La tangente, menée en ce point 

 à K, rencontre 31 en m et en o. La seconde tan- 

 gente, issue du point o à K, rencontre N en n. La 

 droite mn est tangente à la conique (C). La droite 

 polaire du |)oint o passant par le point m, rencontre 

 donc la droite mn en m. 



De là suit que m est un point de la conique (C) et 

 que nous pouvons construire directement la tangente 

 de (C) en ce point. La conique (C) passe donc par les 

 points de rencontre des droites M, Nnvec la conique K. 



5. Prenons sur la droite donnée un point o et 

 construisons une des tangentes de (C), qui lui corres- 

 pondent. Nous obtenons ainsi deux points w<, « sur 

 31, N. En traçant de ces points les secondes tangentes 

 à K, ces droites forment avec les deux premières tan- 

 gentes un quadrilatère comjdet, dont deux sommets 

 opposés m, n parcourent les droites fixes M, N; le som- 

 met glisse sur la droite qui passe par le point 

 d'intersection s des droites 31, N, son sommet opposé 

 0, décrite une droite 0, qui passe de même par le point 

 s et fait une partie de la courbe qui consiste, en géné- 

 ral, en une conique et en deux droites, quand la droite 

 occupe une position générale vers les droites M, N. 



De là suit (inc la tangente mn de la conique (G) 

 résulte de deux points du plan, qui sont situés sur 

 deux droites 0, 0, passant par le point s. Nous obte- 

 nons alors la conique (C) de ces deux droites. 



La droite étant donnée, nous pouvons construire 



la droite 0^ très-aisément par la manière indiquée. A 

 cette droite correspond une droite 0\ de la même 

 nature comme 0' correspond à 0. 



Nous verrons l'importance de la droite 0, dans ce 

 qui va suivre. 



6. Désignons le point de rencontre de la droite O 

 avec K par o. Les tangentes menées de ce point à K 

 se confondent en une seule tangente, et par consé(iuent 

 les deux tangentes à {G}, dérivées de ce point, coïn- 

 cident aussi. 

 D'oîi il suit que 



La tangente menée à K en le point (f intersection de 

 cette conique avec la droite est en même temps la 

 tangente de la conique (C). 



Chacune des droites 0, 0, rencontre la conique K 

 en deux points. Nous obtenons ainsi toutes les tan- 

 gentes commune des coni(iues K^ {G) directement. 



Donc, la position do la droite nous indique la 

 position de la droite 0, vers la conique K. 



(^uand les droites ilf, iV rencontrent la conique Z 

 en quatre points réels et la droite la coupe aussi en 

 deux points réels, la droite 0, coupe cette conique de 

 même en tels points. 



Si les points de rencontre des droites M, N et de 

 la conique K étaient imaginaires, pendant que la droite 

 coupe K en deux points réels, la droite 0, le fait 

 aussi, et vice versa. 



Quand l'une des droites 31, N rencontre K en deux 

 points réels et l'autre en deux points imaginaires, pen- 

 dant que la droite la coupe en deux points réels,. la 

 droite 0, rencontre la même conique en deux points 

 imaginaires, et réciproquement. 



7. 11 nous s'agit de la détermination des points de 

 contact de la conique (C) avec les tangentes communes 

 aux coniques K, (G), ce que nous obtenons par la rai- 

 sonnement qui va suivre. 



Nous avons vu que la polaire d'un point arbitraire 

 de la droite par rapport à la conique K déter- 

 mine les points de contact des tangentes dérivées de 

 ce point o et puis que cette droite est en même temps 

 la polaire d'un point o de la droite 0' par rapport à (6). 

 Puisque le point o se trouve, dans le cas actuel, 

 sur K, la tangente menée en ce point est donc sa 

 droite polaire. 



Les tangentes de la conique (C), qui sont dérivées 

 du point 0, se confondent avec cette polaire, et par 



