BULLETIN 



DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES DE ST.-PÈTERSBOURG, 



Nouvelle génération d'un faisceau de coinques, par 

 J.-S. et M.-N. Vanècek. (Lu le 15 janvier 1885.) 



l. 



1. Parmi les constructions des courbes, que nous 

 avons obtenues à la métbode de Mac-Laurin, se trouve 

 aussi la suivante: 



Quand un triamjlc MNO se meut de telle manière, 

 que ses côtés M, N, pivotent sur trois points fixes 

 m, n, et ses deux sommets MO, NO piarcourcnt une 

 conique K, alors son troisième sommet MN décrit une 

 courbe du quatrième ordre à trois points doubles, dont 

 deux sont les points m, n. 



Récipro(iuement: 



Quand un triangle variable mno se meut de telle fa- 

 çon que ses sommets m,n,o parcourent respectivement 

 trois droites fixes M, N, et ses deux côtés mo, no res- 

 tent tangents à une conique K, alors son troisième côté 

 mn enveloppe une courbe de la. quatrième classe à trois 

 tangentes doubles, dont deux sont les droites M, N. 



2. Supposons que la droite 0, dont nous venons de 

 parler, passe par le point d'intersection s des droites 

 M, N. 



Dans ce cas , la droite 6' ou le côté mn du triangle 

 mobile mno enveloppe une courbe (C) qui se décom- 

 pose en une courbe propre et en le point s. 



On voit aisément qu'à un point o du plan corres- 

 pondent, en général, deux droites (7, parce que le 

 côté mo du triangle mobile rencontre les droites M, N 

 respectivement en les points m,n^, et de même le côté 

 no rencontre ces deux droites en les points m^, n. 

 Les jonctions mn, m^ w, de ces points sont tangentes 

 à la courbe (C) et correspondent au point o. 



Une tangente mn de la courbe (G) étant tracée, 

 nous allons construire la seconde tangente, issue du 

 point m de la droite M, comme il suit. Traçons de 

 ce point la seconde tangente à K, qui rencontre en 

 Oj. La seconde tangente menée de ce point à K ren- 

 contre la droite N en un point w, par lequel passe la 

 tangente demandée «iw, de la courbe (C). 



Tome XXX. 



Considérons le point s comme le sommet o. Chacune 

 des droites mn, m, », offre un faisceau de droites ayant 

 son centre en s; ce point l'ait, par conséquent, une 

 double partie de la courbe (C). De là résulte que 

 l'autre partie de cette courbe est de la seconde classe 

 ou une conique. 



Maintenant, examinons les positions réciproques de 

 la conique (C) dérivée d'une droite passant par le 

 point s par rapport à la conique K que nous allons ap- 

 peler la conique fondamentale. 



3. Considérons un point o de la droite donnée 0. 

 Une tangente menée de ce point à K rencontre M, N 

 respectivement en les points m, w, et la seconde tan- 

 gente les coupe en m^ , n. Ces deux tangentes et les 

 droites mn, w, n^ forment un quadrilatère complet 

 dont deux sommets se trouvent sur M, deux autres 

 sommets sur N et un sommet est sur 0, pendant que 

 ses deux côtés touchent la conique K. 



En considérant seulement les parties principales 

 des ligures dérivées, nous pouvons énoncer ce théorème: 



Quand un quadrilatère complet se meut dans un 

 plan de telle manière que ses deux sommets opposés 

 m, m^ parcourent une droite fi.re M, deux autres som- 

 mets opposés n, «, parcourent une autre droite fixe N 

 et le cinquième sommet o glisse sur une droite fixe 

 qui passe par le point d'intersection s des droites M, N, 

 pendant qiie ses deux côtés mo et no touchent une co- 

 nique K, alors son sixième sommet o', opposé au som- 

 met 0, décrit une droite 0' qui passe par s, et ses deux 

 autres côtés mn, m^n^ enveloppement une conique (C). 



Les diagonales mm, , nn^ restent fixes et la troisième 

 00 tourne autour d'un point p qui est le pôle de la 

 droite par rapport à la conique K. 



La droite 0' est conjuguée harmonique de la droite 

 par rapport aux droites M, N , ce qui résulte de là 

 que ces droites projettent quatre points conjugués har- 

 moniques du point s. 



Considérons le quadrilatère mobile dans ses deux 

 positions différentes. Les côtés homologues de ces 

 deux quadrilatères se rencontrent respectivement en 



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