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des l§icieiices de Saiiii - Pétersbourg:. 



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Composautes 



de R en C 

 de jfî,eii C 

 de B, en C 

 aeR QwA 

 AqR en 7? 



suivant X 



a 



a 



II 

 a 

 I 

 — a 



y 

 h 

 b' 

 h" 

 ■h' 



c 

 c 

 c" 

 ■c 



— a — h — c 



coordonuées des 

 points d'application 



0, 0, 



0,0,0 



0,0,0 



i),0,0 



G, î, 



On aura les re- 



en posant les bras CA=p, CB=^q. 

 lations connues: 



a' -+- 1/ -+- c'- = 1 , aa' -+- bh' -h vc = 0, etc. 



Avec ces éléniens on formera aisément les équa- 

 tions de la résultante associée au couple minimum, 

 dont le moment soit F, et qui est, comme on le sait, 

 perpendiculaire .à la résultante. On aura pour cette 

 droite: 



hz — nj — L — aV, ex — az = M — hV^ 

 a,, — bx=N — cV et V= La -+- Mb -+- Ne, 



L,M,Nétiint les expressions connues des moments: 



L=2,r{z cos ^ — y cos y), M= ^P{x cos y — z cos a), 

 N = lïP (y cos a — x cos (3), 



dans lesquelles il faut substituer les composantes ac- 

 tuelles avec les coordonnées de leurs points d'appli- 

 cation. On trouve pour les parties de L,Ar,N prove- 

 nant de la force en A, en mettant pour 1' l'unité, 

 respectivement 



0, —pc, -t-pV; 



pour les parties provenant de la force en B: 



-^qe, 0, — qa ; 



donc on aura les moments: 



L= -t- qe" M = — pe, N= -t- pih' — qu", 



d'où l'on tire : V=q («c" — ae) — p (bc' — h'c) , 



ce qui revient, comme on sait, à V^qb' — jw". 



Les équations de la résultante associée au couple 

 minimum, seront donc: 



bz — cy = qc" — a F, ex — az = — ^;c' — bV, 

 C'y — px=pb' — 7«" — eV, F = (jb ' — pa. 



On s'assurera aisément qu'il existe une infinité de 

 positions qui satisfont à la condition qb' — pa ={)^ 

 dans lesquelles par conséquent le moment F est zéro 

 et le système se réduit à une résultante unique, dont 

 voici les équations: 



1)3 — ey =: qc 

 ex — az = — pe 

 ay — bx =pb' — qa , 

 qh' — pa"^ 0. 



Cherchons les points d'intersection de cette résul- 

 tante avec le plan .;„'. l'our cela on a , en posant 

 ^ = 0, par la première et la troisième des équations 

 qu'on vient d'établir, et sans avoir égard à la seconde, 

 (|ui n'est, comme on sait, qu'une conséquence de l'en- 

 semble des autres équations: 



bz = qc\ — bx '-= pb' — qa. 



Elevant au carré la seconde de ces éipiations cl en y 

 ajoutant {qh' — pa"f:=0, on aura: 



Z*V H- (qb' —pd'f = (p>U — qaf 

 ou bien: 



7,2 2 2;'- 2 '/■! ■>? '■> > '/■> 



bx -t-qb -i-2> a " ^^=p-b ' -+- q'a -, 



ce qui donne: -^ ^^u — b'. 



'1 — p 



Va\ ajoutant la première équation, également élevée 

 au carré, c'est-à-dire 



on aura 



.2 



^'M^P-^Î^Î 



a -t-e ' — b-^^i — 0- — b --=6-; 

 donc on aura définitivement: 



= 1, 



(A) 



q- — p- q 



équation qui indique la suite des points du plan .'»■, 

 dans lesquels seulement la résultante unique du sy- 

 stème, si elle existe, peut rencontrer le plan rr. 



De la même manière on cherchera le lieu des in- 

 tersections de la résultante avec le plan 7:, en posant 

 .r =: 0; on aura 



az^=pc, ay = pb' — qa, pa" — qb' = 

 d'où l'on tire: 



ï=i; (B) 



y- 



p- — q"- 



1>- 



mais il est plus court de former immédiatement cette 

 seconde équation d'après l'analogie avec la première. 

 L'insi)ection des formules (A) et (B) fait voir, que 

 dans toutes les positions du corps iclativemont aux 

 forces données, dans lesquelles les forces peuvent être 



