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Itullotiii de I'/%cadëinic Impériale 



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G,= \m 



m 



cos 4c'-+- H,,"" siii 4c'-+- m-f cos 5c' 



«?n 



■«i/°^cosc' 



w/"' sin c' 



X 



■ «o' 



(0) 



sin 2c' } 



Wo'O'sinSc' 



H- «*.>'"' COS 2c' 

 ( -4- mé"^ cos 3c' 



Welche dieser Formen man sich nun aucli veran- 

 lasst sieht fiir die Grosse D zu wâhlen, immer ist 

 dieselbe eine derartige, dass sie aus zwei Factoren 

 bestelit, von denen der eine aus einer endlicben An- 

 zalil Glieder besteht, und der zweite sicli uiu eine 

 sehr kleine Grosse von der Einbeit unterscheidet. 

 Der erste Factor lasst sich nun ferner in bekannter 

 Weise in einfacliere Factoren zerlegen und daber 

 konuen wir die folgenden Ausdrûcke fur D aufstellen 



Z)=(7,il-H/;cos(c'-t-F,)j 11 



-^,1 



D==C,\l-^foCos{c'-i-F^)\ {1 



fi cos (c - 

 xll 



-GJ 



u. s. w. 



Die Grossen /' sind von der Ordnung der FiXcen- 

 tricitat des stôrenden Planeten, wesshalb die Entwick- 

 lung der Factoren ll-i-f cos{c'-*-F')\~ " nach den 

 Vielfachen von {c'-+-F'), Welcbe bekauntlich sehr 

 leicht berzustellen ist, auf rasch couvergirende Rei- 

 hen fubren muss. In noch boherem Grade ist dies bei 

 den folgenden Factoren der Pall. 



Liegt nun aber der Theil der Cometenbahn, inner- 

 halb welcheni niau die Storungen ermittein will, in der 

 Niihe der Babn des stôrenden Planeten, so erhalten 

 die Grossen /",, f^, u. s. w. AVerthe, die bloss wenig 

 kleiner als die Einheit sind. Die Eutwicklung der 

 negativen Potenzcn von {1 -h-fcosic-t-F)] nach den 

 Vielfachen c'-Hi<'kaun aus diesem Grunde bloss auf 

 schwach couvergirende Reihen fiihren. 



Da also nach deni , was soeben auseinaudergesetzt 

 worden ist, bloss bei der Eutwicklung der negativen 

 Potenzen des ersten Factors der zuletzt aufgestellten 

 Ausdriicke von D , schwach couvergirende Reihen 

 zum Vorschein kommen, so haben wir unser Ziel da- 

 hin zu verlegeu, fiir diesen Factor eine solche Trans- 

 formation zu finden, dass eine zweckmassige Reihen- 

 entwicklung desselbeu môglich wird. Selbstverstand- 

 lich miissen wir hierbei der Bedingung gentigen, dass 

 eine derartige Transformation die Convergenz der 

 tibrigen Eutwicklungen nicht oder wenigstens nicht 

 wesentlich veringert. Zur Erreichung dièses Zieles 



bieten die elliptischen Fuuctionen ein wirksames und 

 zugleich einfaches Mittel. Setzen wir nâmlich 

 7.2 _ 2/ 



am — -prX, mod. k, 



7t 2 ' ' 



f) |Aam— ^xl 



so wird 



(l-+-fcos(c'-HF)) = (l . ,,,-.„. ^ 2 



Indem wir nun bei der Eutwicklung von (1 -+- f cos 

 {c-i-F))~", wo n entweder eine ganze Zahl oder 

 auch eine durch 2 getheilte ganze Zahl bedeutet, die 

 Grosse x statt c' -+-F als Argument erwahlen, wird 

 die Convergenz eine erheblich grossere. Aber auch 

 die Eutwicklungen von Cos m (c'-t-F) und Sin m (c'-+- F) 

 nach demselben Argumente, fiihren auf sehr conver- 

 gente Reihen und lassen sich sehr leicht herstellen. 



Aile Reiheuentwicklungen, die wir bei der Verfol- 

 gung unserer Aufgabe aus der Théorie der ellipti- 

 schen Fuuctionen zu eutnebmen haben, lassen sich 

 vermittelst der folgenden drei erhalten. Hierbei ha- 

 ben die Buchstaben K, Je und q die in dieser Théorie 

 gewohnliche Bedeutung. Demnach ist also 



k' 



1 



und ferner 

 1-1-4 



l-f-8 



K 



2 



2K 







fc' sin <f^ 



•fe'^'siacp'-^ 



K 



A 2ir 



H 9 



,cos2m- 



-j cos 4m- 



Kx'^l. 2K )2 



396 



2q* 



1-2^ 



Mnf 



,cos2«/ • 



1 —96 



25^ A 



, ^ ■ cos Au 



1 — 9< 



cos6m- 



••! 



(*) 



1-9' 



,, . 2K 2K 

 „ _. K^ Sin — u cos M 



2K\ -K. TC 



f} 



A 2if 

 Aa»i — u 



rsin 2 m-»- 8 



:sin lOw- 



1 — 3» 



sin 6?( 



