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Bulletin de l'/%cafléinie Impériale 



SOS 



h) fiir deii oberen Tlieil 



Je = cos ^ f 



Es entstehen nuii die zwei folgenden Formelsy- 

 steme, durch wclclie die ueue Verituderliche « eiiige- 

 fiihrt wird. Das erste derselben bezieht sich auf den 

 unteren Theil der Bahii, das zweite auf den oberen: 



I. 



sin £ = 2k sin am — u Aaw — o 



= - 2^ (i) 



(i cos am (0 



du 



cos £ = 1 — 21"^ \ sin am — u } 



Da nun in der elliptisclien Bahn, wenn e = sin(p, 

 r = rt(l — ecoss) 

 rcos/"=«cose — ae 

 r 810/"=: a cos 9 sin £ 



ndt^ -dt, 



n. * 



so findet man 



2K 



r = a{\ —€)-^2aek^{?,mam — (ù] 



rcosf=a{l — e) — 2flF{sina»t — o 



/■ sin /" = — 2a cos tp^ (^\ 

 ndt ={l — e — 2e]c' 



a cos aw u u 



du 



■ 'sin «m — m1 



7^ 9 TT 



X 2Â; ^^ cos am — o du 



II. 



cosf= 2k'^ {sinam^^ u'j' — 1 



a cos am u 



sinf^ — 2Â;5^ 



' 2A du 



Hieraus ergiebt sich, weil 



1 1 -f-e ces/ 



T a (1 — e*) 



ndt=- 



«' i sin «m — u 1 



1 — e l Tt • 



o (1 -H e) 



(l-*-e)2 



<1-H- fc^jsinam — uj > 



y 



1— C2 \ 1^ / 



2^ 7 



cosaw — oau 



Die Reiheneutwicklungen von einigen der Grôssen, 

 die in den vorstehenden Formeln vorliommen, sind 

 in den Handbiichern der elliptischen Functionen un- 

 mittelbar gegeben. Fiir andere mûssen wir aber dièse 

 Entwicklungen erst suclien. Unter diesen letzteren 

 haben wir in dem ersten Fornielsysteme die Grosse 



/o" I si 



sin am 



2K 



« I k cos am 



— « in iinsere Betrachtung 



zu zielieu. Es findet sich aber unmittelbar 



2K 1K 



d [sin am — u \am ul 



2K 



2K du 



2K 



1K 



cosrtw — « Art»2 — u — k sinaw — « cosawi — u, 

 also auch 



70 ( • 2K >2 1K 



' u ' TC 



1K 1K 



dTsinam — u Aam — ul 



TC TC TC 



' 2K ^ d^ 



Andrerseits haben wir 



2K 



COS am ~- 6) {Aam '^~ «} 



2K 



cos am '^ o { Aam ^^ o j = 



TC ' TC I 



cos am "^- « (l — k^ {sin am ^ o} } 



und da nun auch 



2K 



sin am — o Aaw — « : 



TC TC 



7 2K 



a cos am — a 



TC TC 



2^ 



du 



SO wird 



k ismam — oj A; cos «m — « = 



' TC ' TC 



2^2^:, 



2K 



d^ [cos a»i — ul 



TC ■■ 



du2 



rr COS am 



2K 



«. 



verinittelstwelcher Formel dieEntwicldung der Grosse 

 links sogleich gefunden werden kann. 



Im zweiten Formelsj'stera begegnen uns einige Aus- 

 driicke, deren Entwicklung etwas weniger leicht er- 

 scheint. Allerdings kônnen auch dièse durch ellipti- 

 sche Transcendenten, deren Entwicklung bekannt ist, 

 oder durch Jacobi'sche Functionen ausgedrûckt wer- 

 den. So hat man z. B., iudem gesetzt wird 



