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des Sciences de Maint - Pt^fershourt»^. 



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V ==^2, il ne s'agit d'examiner que le cas de v > 2. 

 Or, puisque 



E(^ ) -^ ^p{i ) = ix -H ,x' -H 2 = [. -H j.' (mod. 2), 

 et que d'ailleurs l'on a, comme plus haut, 

 \L — [L' = 2'~-.a = (mod 2), 

 il en résulte qu'on aura également 



lJL-t-lJ.' = (mod. 2), 

 ce qui établit la parité de l'expression (14). 



a — l, r. 



Le terme 



de l'exposant dans la formule (13) doit être également 

 rejeté: il est aisé de se convaincre de sa parité en 

 observant que, p — q étant divisible par 4 et c étant 

 impair, l'équation 



p — q^2a(n — «') 



ne peut subsister à moins que la différence n — n', et 

 par conséquent aussi la somme n -+- «' ne soit paire. 

 Donc, pour^j et q de même espèce, on aura générale- 

 Dient ^ 



(f)(|)=(-»^. m 



ce qni en effet a lieu, car pour p et q de la forme 

 4[JL -H 1 , nous trouvons par cette formule 



(l)(î) = ->. 



et pour p = 4:^ -*- 3 et q = 4]».' -+- 3, au contraire, 



(f)(|)=-'- 



ce qui est exact. 



Deuxième cas. Puisque la différence de deux nom- 

 bres premiers d'espèces différentes est congrue à h- 2 

 suivant le module 4, on aura, en supposant toujours 



^>î' p-q=2a, 



et par conséquent v =^ 1 ; l'expression (14), soit que 

 l'on y suppose p :^ 4^-\-\ et g = 4[j.' -4- 3 , ou bien 

 |) = 4p. -+- 3 et 2 = 4[J.' -H 1, se réduira à 



Il est commode de considérer ici séparément les deux 

 cas possibles , suivant qu'on aura p = 4^ -*- \ et 

 q = 4jj.' -+- 3 , ou bien ^ = 4|j. -*- 3 et ^ = 4:\i.' -t- 1 . 

 La première supposition conduit à l'égalité 



2; — g = 2 [2 (iJ. — [j.') — 1] = 2a, 



d'où l'on tire successivenienl 



a+l 



a + 1 



~2~' 



-♦-1 = —' (mod. 2). 



de sorte que l'exposant dans la formule (13) se ré- 

 duira à 



13-1 0-1/ , 



-2~~*~ 2^{n-+-n -H 1). 



Je dis de plus que le second terme de cette somme 

 doit être rejeté comme étant ^Jair. En effet, l'on a 



p — q = 2a {n — /(') 



d'où 



et par suite 



n -+- n' - 



Donc, définitivement 



2a, 

 — 11= 1, 



1=0 (mod. 2). 



f>-i 



2 



puisque p = 4[i -t- 1 , ce qui est exact. 



Dans l'hypothèse de ;; =: 4i>. -t- 3 et g = 4^ 



(i6) 



on aura 



li.')-Hl] = 2a, 



p — q=2\2[^ 

 et par conséquent 



[x — lx=-2-, iJ. -4- (j. H- 1 = -^ -+- 1 (mod. 2). 

 Donc, l'exposant que nous considérons, se réduira à 



^-4-1 

 ~9 



a-\ 





II 



On démontrera, identiquement comme tout-à-l'heure, 

 que le second terme de cette somme doit être écarté, 

 et on aura simplement 



(f)(l) = <-l'"^=-^ («7) 



à cause de js = 4{j. -h 3 ; c'est en effet la relation qui 

 a lieu entre les nombres premiers j» ^ 4ijl -»- 3 et 

 q = 4iJ.' H- 1 . 



Les trois formules (15), (16) et (17) renferment 

 tous les cas compris dans la loi de réciprocité, loi 

 qu'on exprime ordinairement par la formule unique 



(f) (§)=<-»'" 



Ajoutons à cette exposition le résultat relatif au 

 cas très simple qui se présente, lorsque la base a se 

 réduit à Vimité. En supposant, comme plus haut, 

 /> > g, on trouve successivement 



1 îzl 



• 2 



