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Bulletin (le l'/%cadéniie Impériale 



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p = 2an -+-r et 5 = 2an -t- ir, 



a étant leur base commune et r le reste de la divi- 

 sion de ^ et de 3 par 2a; le quotient n peut d'ail- 

 leurs être nul. 



En effet, soit 



2\a, 



(Jl) 



V désignant la plus haute puissance de 2 qui divise la 



différence j? — q; a sera donc un nombre impair, et 



l'on aura » — « 



a=^^. 



Telle sera la valeur de la base a. Supposons actuel- 

 lement, contrairement à notre assertion, que les restes 

 de la division de ^ et de g» par 2a soient différents 

 entr'eux; on aurait dans cette hypothèse 



p = 2an -+-/", 2 = '2arî -+- r, 



et par suite 



p — q^=2a [n — n') -\-(r — r'). 



Or, cette égalité, pour / différent de r, est impos- 

 sible, car p — q est divisible par 2a, comme on le voit 

 par l'équation (11), tandis que r — r ne l'est pas; 

 en effet, le maximum numérique de la différence r — r 

 ayant lieu pour r =: 2a — 1 et /= 1, ou aurait pour 

 le maximum de ^^^ la fraction ^-^^, inférieure à 



'2a a ' 



Funité, ce qui prouve que la seule supposition admis- 

 sible est celle de r' = r. 



Reprenons l'équation (11); elle donne 



(f) = (T) = (î)"(i)- 

 De la' même équation (11), mise sous la forme 



q =p — 2\a, 

 on tire 



a)=(=^°)=<-')^'©'fâ- 



Nous aurons par conséquent 



(f)(f)=<-')'^(ir(ï)'(î)(ï)- 



Or, les symboles 



(f) - il) 



peuvent être respectivement remplacés par 



(-1) 8 



ou, plus simplement, comme je l'ai tait voir ailleurs*), 

 par 



(_1) \ 4 ; et (—1) 



m.. 



donc 



(-1) 



■ P-i 



Enfin, remplaçant le produit [j){^) par l'expres- 

 sion (10) du Corollaire précédent, on trouve 



p-j. 

 1)^ ■ 



et (— 1) 



Appliquons maintenant cette dernière formule à la 

 démonstration de la loi de réciprocité de deux nombres 

 premiers quelconques, préalablement mis sous la forme 



p = 2an -*- r, q^^ 2an' -+- r, 



et en supposant, comme plus haut, p> q. Nous dis- 

 tinguerons deux cas: 1° celui où les deux nombres p 

 et q sont congrus entr'eux suivant le module 4 et 

 2° celui où il ne le sont pas. 



Premier cas. Nous montrerons d'abord que, dans 

 le cas actuel, le terme 



.[E(^-^)^E{^^)-] (14) 



de l'exposant dans la formule (13) est égal à un en- 

 tier pair, et que par conséquent il peut être écarté. 

 En effet, pour p=. i^-t-l et ^ = 4iJ.' -•- 1 , on aura 



de plus, puisque 



'^m^^- 



p— q = 4{]). — ]x.') = 2' .a, 



V ne pourra être qu'égal ou supérieur à 2. Si v= 2, 

 le nombre (14) est par cela même pair; dans le cas 

 de V > 2, on conclut de l'égalité 



lJL-p.' = 2^--.rt 



que la différence p. — ^', et par conséquent aussi la 

 somme ^ ■+- ji.,' est paire. Donc, dans les deux cas, le 

 terme (14) e?.t pair. 



On arrive à la même conclusion pour p = 4i«. -+- 3 

 et 2 ^ 4]i.' -*- 3. L'expression (14) étant paire pour 



*) Voye2 le Mémoire cité au commencement de cet article. 



