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des Scieiict*» <1e Saint- P(>lor<«l»oiiri;{. 



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Nous passons suils silence plusieurs pioiuiétés qui 

 découlent do cette disposition artiticielle des pro- 

 gressions arithmétiques, jtropriétés étrangères à notre 

 b.ut actuel; nous reniarquerons seulement que, dans 

 le passage de chaque groupe au suivant, un voit figu- 

 rer, à tour de rôle, l'un à la suite de Tautre, les plus 

 grands termes des progressions qu'ils représentent et 

 les couples de restes r, et « — /■, , r., et a — r.^ etc., 

 ce qui est une conséquence immédiate des formules 

 (4), (6) et (7). Cette observation réduit au plus grand 

 degré de simplicité la construction de ces suites ar- 

 tificielles, dont nous ferons usage dans un autre Mé- 

 moire pour la résolution générale des congruences 

 binômes exponentielles à base quelconque. 



Après cette digression, revenons à la démonstra- 

 tion du théorème fondamental. Soit M le nombre des 

 éléments contenus dans la totalité des groupes 



[a. r,]. [a, /,], [n. >•,] [a, r^^J, . . (9) 



2 



éléments qui se rapportent tous à des multiples né- 

 gatifs de rt. Après ce qui a été exposé plus haut il 



est visible que le produit 1.2.3. . 



P-i 



de toutes 



les progressions (3), ou, ce qui revient au même, le 

 produit des éléments de tous les groupes 



[0, a], [a, r,J, [a — r„ a]. [«, r.J, . . . [a—r^^__^, a] 



sera congru au produit des ^-^ multiples de a pris 

 chacun avec le signe qui lui a été assigné plus haut. 

 On aura donc 



1.2.3.. 



P- 



^ a . 2a . 'àa . 



p — ^ , 



1)^ 



et par suite 



= 1.2.3...^^(- 



a = 



\f(i - (mod. p), 



Pour avoir l'expression de l'exposant M telle 

 qu'elle est donnée par la formule (1), observons d'a- 

 bord que le nombre des groupes (9), relatifs aux mul- 

 tiples négatifs de a. est égal à ^^^, et que chacun de 

 ces groupes contient « ou w -+- 1 éléments suivant 

 que le reste r.^ qui s'y rapporte est > ^-^ ou :< -^-^ 

 Si donc on forme la suite des restes 



*'u *'25 ':<» 'a — i 



dt' la division jiar (( des multiples successifs de > 



0—1 



o?". 



•/•. 



et qu'on représente par m le nombre de ceux de ces 

 restes qui ne dépassent pas la limite ^-^, on aura, 

 dans la suite (9), m groui)es composés de «-h 1 élé- 

 ments, et, par suite, ^^-^^^ m groupes composés de 



n éléments. Le total des ternies compris dans ces 

 ^^^^ groupes (9) sera donc 



m. 



M = (n -+- 1 ) m -+- ( "-;, m \ n = '^—^ . » 



m ne dépendant, comme on le voit, que de « et de r, 

 et, par conséquent, restant invariable ({uel que soit n. 

 Substituant cette valeur de M dans la formule ci- 

 dessus, nous obtiendrons la relation 



p-i 



rt — 1 



\P ^ 



; -(-1) 2 



qui constitue notre théorème fondamental. 



De cette proposition ou déduit le corollaire suivant: 



Corollaire. Étant donnés deux nombres premiers 



p = 2aw -+-r et g ^ 2an' -+- r 



{n ou )/ pouvant se réduire à zéro), rapportés à la 

 même hase a et au même reste r, on aura 



0—1 



(?)(!!='-'>■ 



(n -+- n 1 



(10) 



En effet, en vertu du théorème (1), on a les deux 



égalités 



a — 1 a—i, 



(!)-(- 1) - ^t (^)=(-i) 2 



qui. multipliées entr'elles, donnent 



I r, \ / n , — 7i — (« -t- Il ) -t- 2m 



(p)(â)-^-''' ' 



écartant l'exposant ^;»i/- 2?», on aura simplement 



Présentons encore quelques transformations dont 

 la formule (10) est susceptible 



Soient^ et g deux nombres premiers absolus quel- 

 conques (2 excepté), et suppos(jns . pour fixer les 

 idées, p > q. Nous ferons voir d"abord que ces deux 

 nombres peuvent être représentés, chacun, par la 

 même forme linéaire, c'est-à-dire que nous pouvons 

 poser 



