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<ti>s SScieiico» de Saint -PétvPNbouris. 



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Or, comme d'après ce que l'un vient de voir, la 

 somme 2Xh -i- q-^ ne surpasse pas ^-^ », il s'en 



suit que L, également, ne surpassera pas '^ — «-«- 1, 

 et que, par conséquent, on aura l'égalité 



L= 1 -*-2hn-i-q^ (G) 



qui, en vertu de la formule (4), entraîne aussi la sui- 

 vante: T ^ t' é'\ 

 Z= 1 -+- A {à) 



Tous les autres termes de la progression arithmé- 

 tique croissante [a — )\, a] seront de même congrus 

 à des multiples positifs de a, ce que l'on voit par 

 cette suite de congruences: 



■{L- 



- La^a 



■r. 



{L -\- 2) « = a — ^x "*" -'* 



•. -H (w — 1) a 



Si la différence a — 



(mod-i;). (8) 



T , 1 



r^ est inférieure ou égale à -^, 



cette progression contiendra un terme de plus, nom- 

 mément 



-*- {L -t~ n) a ^ a — r^ -t- na (mod. j)). 



Tirons maintenant quelques conséquences de l'ana- 

 lyse qni vient d'être exposée. Et d'abord, observons, 

 quoique cela ne soit pas indispensable pour le but 

 que nous avons en vue pour le moment, qu'en repré- 

 sentant par [a, /J la même suite de termes que celle 

 du groupe [r^, a], mais écrite dans l'ordre inverse 



na-*-r^, (n — l)a-t-r^, . . . . 2a 



'X' 



■h^ «• 



^x' h^ 



(le premier terme na 



r — V^ 



r^ ne subsistant que quand 

 i^x^^—^), on aura la correspondance suivante entre 

 les valeurs numériques des coefficients de multiplicité 

 1, 2, 3,. . . nn ■+- ^-^ et les éléments successifs des 

 différents groupes: 



[0, a] [a, r,] [a — r^,a] [a, rj [a — r.^,a] 



En effet, en supposant X = 0, et par suite q^ = 0, 

 la formule (6) donne 



valeur qui correspond au premier élément a du groupe 

 [r^j a] = [0, a]. Après cela, en vertu des formules 



(S), un aura la cori'espundance suivante entre les 

 coefficients de multiplicité L et les éléments succes- 

 sifs de [0, «]: 



Valeurs de L. 

 -t-] . . . 

 -I- 



Éléments. 

 . . a 

 . .2a 

 . . àa 



-+~n na. 



Le groupe qui viendra après ce premier sera [a, r,], 

 ce dont on s'assure de suite en consultant les formules 

 (4) et (5). Et en effet, pour obtenir des valeurs du 

 coefficient de multiplicité, immédiatement supérieures 

 à n, il faudra nécessairement poser X= 1; on obser- 

 vera alors que le dernier élément r, du groupe [a, r,] 

 correspoudera à la valeur K=2n-i-q^, et son premier 

 élément sera ;•, -»- na si r, <^^, et r, -+- (n — l)a 

 lorsque r, > ^^. Voici, dans le premier cas, pour 

 lequel on a visiblement </, = 1 , la correspondance 

 qui subsiste entre les valeurs de K et les éléments 

 qui s'y rapportent: 



Valeurs de K. 



— («H-1). 



— in-*- 2). 



— («-1-3). 



Éléments, 

 ■i-na 



*-(n — \)a 

 +- (w — 2) a 



^• 



— (2«-i-l). 



Le groupe que nous venons d'écrire sera suivi du 

 groupe [rt — r, , a] ; le rang de son premier terme 

 a — r,, déterminé par la formule (6), étant 



1 -1- 2w -+- 2, ^ 2w -+- 2 

 pour >", ^— 5— ! on aura la correspondance que voici: 



Valeurs de L. 



-h(2w-i-2). 

 -h(2«-»-3). 



-+-(2w-f-4). 



Éléments. 



a — r, 



a- 



a — r, 



a 



■2a 



Après avoir épuisé les éléments de ces trois pre- 

 miers groupes , on devra poser X = 2 pour les deux 



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