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Kulletiii de l'/tcadéinie Inipëpiale 



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écrits dans leur ordre ascendant, inclusivement jus- 

 qu'au dernier terme qui sera égal à r, -i- na ou à 

 ,-^_h(w — 1) a suivant qu'on aura r^<^'-^ ou r^ > '^. 

 De même, soit [a — )\, a] l'ensemble des éléments 

 du groupe 



a — >\, {a — r^)-t-rt, [a — }\)-+-2a, 



Cela posé, nous affirmons que les éléments de chacun 

 des groupes [r^, a], rapportés au module p, seront 

 tous congrus à des multiples négatifs de a, et qu'au con- 

 traire, les éléments de chacun des groupes [a — r^, a] 

 seront tous congrus, suivant le même module, à des 

 multiples positifs de «. Nous disons de plus que les 

 valeurs numériques des coefficients, tant positifs que 

 négatifs, par lesquels on multiplie la base a, resteront 



toutes comprises dans les limites 1 et ^-^ = aw-»-^^ 

 inclusivement. 



Pour justifier la première assertion, commençons 

 par prouver que l'on doit nécessairement avoir 

 — Ka^ /-j (mod. p), 



K étant un des nombres de la série (2). Voyons si 

 cette équivalence satisfait aux conditions requises. 



La substitution de Xr — aq-^ à r^ donne d'abord la 

 congrueuce 



— Ka^= "kr — aq^ (mod. p) 



qui, en vertu de la relation 



r ^ — 2an (mod. p), 



déduite de la forme même du nombre premier p = 

 2an H- r, devient 



— Ka^;^ — 2X«w — aq.^ (mod. p) ; 



de là on tire 



K^ 2Xtt ■+- q^ (mod. p). 



Or, cette dernière congruence se réduit à l'équation 



d'ailleurs, puisque 



K=2\n^q^, (4) 



comme il est facile de l'établir en faisant voir que la 

 somme 2\n -+- q-^ est inférieure à 



• 1 



on aura, pour r < a, comme on doit le supposer, pour 

 ne devienne pas négative, 

 1 



que la fraction 



2a 



P~i 



Eu effet, ob- 



servons d'abord que la plus grande valeur de X est 

 "-^'i quant au maximum du quotient q-^, ce sera l'en- 



a — 1 



tier compris dans la fraction -^ — ; donc 



Maximum de q^t= E 



a—l 



Maximum de 

 et par suite 



2Xh -+-q-< 



li'^^ 



\)n 



r — 1 



_p-\ 



ce qu'il s'agissait de faire voir. 



Ainsi, il est prouvé que le premier terme r^ de la 

 progression ascendante [r^,«] correspondra à un mul- 



tiple négatif de a inférieur à 



p-i 



Il en sera de même 



de tous les autres termes de cette même progression, 

 comme on le voit par cette suite de congruences : 



— Ka^ r j 

 — {K — l)a^r^-t-a 



[K—2)a = r. 



2a 



-{K- 



1 ) a == r, -+- (m — l)a 



(mod. pi). (5) 



Dans le cas de r^ < ^5— , à ces n termes il en faudra 

 joindre encore un, qui sera 



— (A' — n) ^ ')\ -+- na (mod. p). 



Les congruences (5) montrent qu'aux valeurs numé- 

 riques croissantes du coefficient K correspondent des 

 valeurs décroissantes des éléments du groupe [r^, a]. 



Démontrons maintenant la seconde propriété des 

 progressions (3) qui consiste en ce que les éléments 

 de chacun des groupes [a — r^, a] sont tous congrus 

 à des murtiples positifs de a. La démonstration que 

 nous allons présenter pour ce cas est tout-à-fait ana- 

 logue à celle du précédent. Soit L le coefficient de 

 multiplicité, et faisons voir que la congruence 



-t- La^ a — r^ (mod. p) 

 a nécessairement lieu pour L non supérieur à -^— . 

 En observant que l'on a 



r^ = Xr — aq^ , r^ — 2an (mod. p), 

 nous trouvons 



La ^a -t~ 2\an -+- aq^ (mod. p), 



L^l -+- 2X« -+- q^ (mod. p). 



