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Bulletin de rj%cadënile Impériale 



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Aï 1 

 1 

 2 



3 



TABLEil U 



Xo 2. 



3 



6 



9 



3k 



n- 



n- 



n 

 ■ 1 



2m- 



2m- 

 2n- 



2w- 



2w 



3w 



1 

 2 

 3 

 4 



2 -4- 3 (« — /^- -»- 1) 



1 -i-3(fc— 2) 



1 + 3« 



En conservant les notations dont il a été fait usage 

 dans le premier cas, on trouve pour le premier groupe 

 l'égalité 



2/2^=3^1 pour 1/3^0 (mod. 3). 



Pour le second groupe on a les deux équations 



yf=z 2n-t-k, y., =^ l -t~ 3 {k — 2 ) 



qui conduisent à la relation 



2/j = 3î/, — (6w-i-5) pour ^2-^=^1 (mod. 3). 



Enfin, le troisième groupe donne 



2/, = w -H A;, 2/2 = 2 -t- 3 (w — Â; -I- 1), 



et par suite 



î/2 = 6^-4-5 — 3?/, pour »/2^2 (mod. 3). 



Réunissant les trois valeurs de ^3 nous obtiendrons 



2/j = a . 3î/, -H 6 (3«/, — 6w — 5) -4- c {6w -4- 5 — 3</,), 



ou bien 



y^=z o(a-t~b — c) i/f — [b — c) P. 



Soit, pour abréger, 



a-i-b — c = i , b — c =; j ; 



on aura simplement 



!/, = 3ly,~jP, (10) 



? admettant, comme dans le premier cas, les deux va- 

 leurs -t- 1 et — 1 , et j pouvant de plus se réduire 

 à zéro. 



Si l'on commence par l'élément y, = 1*, et qu'on 

 représente par jj.^, le nombre minimum d'opérations à 

 effectuer pour retomber sur le même élément, on aura 

 w . = 1 , et l'on parviendra, comme dans le 1^^ 

 cas, à la congrueuce 



3^ = 1— l)%mod. P), (II) 



identiquement la même que la congruence (8) à la 

 seule différence près, que l'exposant 8, dans le cas 

 actuel, représente la totalité des nombres marqués 

 d'astérisques, et qui correspondent aux éléments du 

 troisième groupe de la colonne As 2, tandis que, pour 

 le premier cas. cette totalité était relative aux nom- 

 bres qui correspondaient au second groupe. Cela se 

 voit de suite en observant que dans les expressions 

 i = a — b-h-c et i = a-+-b — c qui se rapportent re- 

 spectivement aux modules P= Gw-f- 1 et P= 6w-»-5, 

 c'est le symbole b qui est affecté du signe — dans la 

 première expression, tandis que dans la seconde c'est 

 c qui est négatif. 



On démontrera, comme plus haut, que la valeur 

 trouvée de [jl^ représente la solution minimum de la con- 

 gruence (11) qui se rapporte au module P ^ 6w -+- 5. 



Lorsque P est un nombre premier absolu, que nous 

 représenterons par p = 6n -t- 5 , ^^ sera un diviseur 



de 



p-i 



et on aura 



9 ' 



En raisonnant comme 

 nous parviendrons à la 



d pouvant se réduire à 1 . 

 pour le cas de p == 6« -t- 1 

 congrueuce 



3'^=(— 1)^ (mod. 6w-4- 5), 

 A étant égal au nombre total des termes du 3 

 g^«"P^ 2, 5, 8 3» -H 2, 



