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BuIIefiu de l'/%cadéinie Impériale 



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. = 3\nr 



MU — 1) 



En effet, puisque i/^est diviseur de F, on ■d\\va,F=y^.P', 

 et, eu supposant que pour la valeur v de l'exposant 

 on soit parvenu à l'égalité i/^.^.,^, = iî//t, on trouvera 



y/j = 3\ ni!' . . . i '' ~ '' ij,, I niod. y,^ . F), 



ou, ce qui revient au même, 



1 = ± 3'' (mod. F). 



Or, puisque F' est inférieur à F, il pourra très bien 

 se faire que l'exposant v soit plus petit que (x^. 



Il est également facile de voir que, pour un mo- 

 dule premier p, on arrive toujours à la même valeur 

 [i , quel que soit l'élément jiar lequel on ait com- 

 mencé l'opération. Admettons, contrairement à cette 

 assertion, qu'en commençant l'opération non par l'élé- 

 ment 1*, mais par y^"", ou soit parvenu à la congruence 



S'qil^O (mod. ;)), 



V étant différent de ji^. Observons d'abord que v ne 

 peut être inférieur à ^^^, car (x^ est un minimum: d'ail- 

 leurs V ne pouirait être qu'un multiple do i».,,. Cela 

 posé, l'opération commencée par lélément y^\ et ré- 

 pétée [Xg fois, conduirait, eu vertu de la formule fon- 

 damentale (4), aux congruences 



Vk^i'^-^yk-^^- '■■■■■ Vk-^H^-'^^yk-^H-^ 



qui donnent 



Or, comme v> ji^, les nombres «/j^.^.. et y,^ seront 

 nécessairement inégaux, et puisque 



3'^oH^:+: 1 (mod. p), 

 nous obtiendrons en définitive la congruence 

 ;2/j,:=0 (mod. jj), 



Lorsque le module est un nombre premier absolu, 

 on aura, en le représentant j)ar ji>, 



a)(^) = ^) — 1; 



dans ce cas jj.„ sera égal à un diviseur de ^^^ , sans 

 en excepter ce nombre lui-même. 



L'analyse exposée ci-dessus conduit très simple- 

 ment à la valeur du symbole 



(^J)e^3^'=(— 1)^ (mod.,?;) 



pour le cas de p = 6h -»- 1 que nous considérons 

 maintenant. Soit, en effet, ^'^ = i«.prf; d'après ce que 

 nous venons de voir, si >.„ n'est pas égal à '^~y i ^^^ 



^^ nombres 



1, 2, 3,. 





Vk^ 



-V-u 



évidemment impossible, vu que chacun des nombres 

 Vk ^* 2/ftH-u "^ P^"* surpasser^ . 



L'exposant minimum jjl^ est, comme ou le sait, un 

 diviseur de la fonction numérique 9(P) qui représente 

 combien dans la série 



1 "> 3 F 



il y a de nombres premiers à P. 



se répartiront en d groupes, dont chacun sera com- 

 posé de \i.^ éléments, et l'on aura les cl congruences 

 suivantes: 



3'^o = (_lf 



3(^0 = (—!)* '(mod. 2J) 



.(rf-i: 

 3(^0 = (_!)■' 



dans lesquelles, visiblement, les exposants 



§, h',h" . ..^"*-'> 



seront tous simultanément pairs ou impairs. Multi- 

 pliant entr'elles toutes ces congTuences, et faisant 



A = â ^.- S' -H S" -t- 



.-f-â 



(''— M 



on aura 



3*^0'* = 3' 



'^^{ — 1)^ (mod. p). 



Or, comme A désigne la totalité des nombres con- 

 grus à Vmiité, suivant le module 3, compris dans la 

 série „_i 



et que le nombre -"^ = 3«- de ces éléments est divi- 

 sible par 3, on aura A = //. Donc 



Second cas: P— 6w-i-5. 



Commençons notre exposé, comme tout -à -l'heure. 



(J) = (i 



