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des Sciences de Saint- Pëtersbourg. 



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La formule (4), comme nous allons voir, conduit 

 directement à la démonstration du procéda formulé 

 plus haut. Puisque l'opération a été couiuiencée par 

 l'élément 1 de la colonne As 1 (TabUau f), nous 

 aurons v, = 1*, et par conséquent 



De plus, comme l'on a dans ce cas 



a=l, b = 0, c = 0, 

 et par suite 



il viendra 



'■-1, j 



Vi 



0, 



Donc 3* sera le second élément de la colonne A» 1 

 marqué d'un astérisque. 



Le troisième nombre y-^ de la colonne A^ 1 qu'on 

 devra affecter d'un astérisque sera, en vertu de la 

 formule (4), 



i' et j' ayant respectivement les mêmes significations 

 que i et j. 



On trouvera de même jtour le quatrième nombre 

 e/4* l'expression 



V'. 





(3î J -t-j )P, 



et en général 



.1 ■> . 



.r 



= 3' 



-'>jV3^ 



/ -Il ■m 



.11 i . 



:iy — ^) 



J ...r 



■y^ 



ii^— I) 



p.i 



(5) 



Si donc ou représente par {j.„ le total des éléments 

 de la colonne A^ 1 marqués d'astérisques, c'est-à-dire 

 le nombre des opérations à effectuer poiu- retomber 

 sur l'élément primitif 1*. on aura v = [t,,. y^^^ = 



y> 



1^0 



(-i: 



1 : faisant de plus i'i"t" . . .?'' '' ^ 

 'équation (5) donnera 



(6) 



J' J",. . . ,7"^""^' étant susceptibles des trois valeurs 

 _^ 1 ^ et — 1, et J"^» ~ " de la seule valeur -+- 1 . 

 comme cela est visible par la dernière équation en 

 ayant égard à la forme Gr? -+- 1 de P. On aura donc 

 définitivement 



-(-])*{ 3^- 

 011 bien 



\J'- 



r 



3J"*o- 



lij 



(7) 



3''o = (_i)*(mod. P). 



(8) 



Ce dernier résultat s'obtient directement en obser- 

 vant que la formule fondamentale (4) conduit à cette 

 suite de congrueuces 



y^i 



y^ = 3i% . 

 qui donnent 



2/v^, = 3^ 



^3iî/,, 



= 3i'""''i/^(mod. P), 



.ti\ 



•(V — I) 



.y, (mod. P). 



Faisant «/,= !, v = p.^, «';". . .?>'-'' = (— }f, et 

 observant que ?/ ^,=-- y . = 1 , on retombe sur la 



congruence (8). Mais la formule (7j a l'avantage de 

 donner l'expression du quotient même de 'd^o — ( — 1) 

 divisé par P. 



Pour déterminer le signe de ( — 1) dans l'équi- 

 valence (8), il suffira de compter combien do fois le 

 symbole h=-.\, affecté du signe négatif dans l'expres- 

 sion a — h -+- c, entre comme facteur de 3^ dans le 

 premier ternie du second membre de l'équation (5), 

 appliquée au cas de v =z ji.^, pour lequel on a y,^, 

 = 1. Ce nombre sera visiblement égal à celui des 

 élémeuts de la colonne A?. 1, qui correspondent au 

 2'' groupe et sont marqués d'astérisques. Soit S ce 

 nombre: suivant que 5 sera pair ou impair, ( — 1) 

 sera égal à -+- 1 ou à — l. 



Ayant ainsi trouvé l'exposant (jl,, et le signe de 



Vunité qui satisfont à la congruence (8), il faut encore 



faire voir que cet exposant est un mmhnnm. On s'en 



assurera de suite pai' l'inspection de la formule (5). 



p]n effet, tant que v est inférieur à [i. , le nombre 



P— 1 

 2/v^i iliftère de 1, et, de plus, ne peut surpasser —g—; 



donc, pour v < Ho, l'expression Tdb i sera incon- 

 grue à zéro suivant le module /'. 



Remarquons en passant que, pour un module com- 

 posé P, il arrive souvent qu'en prenant pour l'élé- 

 ment primitif y^ un diviseur de P, on retombe sur ce 

 même élément y^ après un nombre v d'opérations in- 

 férieur à [1. . Cela s'explique tout naturellement par 

 la dernière formule qui donne 



