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Bulletin de l'yteadéniit> Impériale 



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A'ï 1. 

 1 

 2 

 3 



n- 



n 



n 



n 

 1 

 2 



o 

 O 



2n 

 2n-\- 1 

 2w-i- 2 



2n ■+- ■! 



2n- 



3m 



TABLEAU 1' 



JV«2. 



3 

 6 

 9 



'àk 



tjo 



g 



3w 

 3«- 

 3w- 

 3«- 



3h 



3.1 

 3.2 



3w — 2- 



2 



2-1-3.1 



2-+-3.2 



2 — 3(^—1) 



3(w— 1) = 1 



3(A-1) 



2 H- 3(w— 1) = 3«— 1. 



Actuellement, en partant des indications générales 

 de ce tableau, exprimons, analytiquement, les opé- 

 rations que nous avons effectuées pour trouver le 

 minimum (x^^ = 8 de l'exposant x en traitant la con- 

 gruence particulière 



S^'^p 1=0 (mod. 25). 



Dans ce but, cherchons la relation qui lie deux élé- 

 ments consécutifs qu'on affecte d'astérisques. Soient 



Vil Vn 2/3; Vu l6s éléments rangés suivant l'ordre 



dans lequel on les a obtenus, Vi étant celui par lequel 

 on a commencé l'opération. Considérons les deux élé- 

 ments consécutifs y^ et y^^ dont le premier ?/, se 

 trouve dans la colonne J\s 1 , et le second 2/2, en re- 

 gard de 2/1, dans la colonne J\° 2. Il est visible d'a- 

 bord que si l'élément y^ appartient au premier groupe, 

 c.-à-d. s'il est divisible par 3, on aura 



y^= 34/i pour y-i^^'^ (mod. 3). 



Si 2/2 appartient au second groupe, un aura simul- 

 tanément 



y^ = n-i-h et î/2 = 3m — 2 — 3 (A; — 1 ), 



et par suite 



î/.j^6w-»-l — 3y, pour y-î^^l (mod. 3). 



Enfin, quand le nombre y.^ se rapporte au troisième 

 groupe, les égalités 



î/, = 2« -t- A: et 2/2 = 2 -»- 3 (fc — 1 ) 



donnent 



y.,= Sy, — (6« -f- 1) pour y-2^2 (mod. 3). 



Pour comprendre dans une même formule les trois 

 cas que présente le nombre Vj par rapport à ses ré- 

 sidus suivant le module 3, nous pouvons écrire la 

 valeur de y^ sous la forme suivante: 



î/2 = a.3«/,-i-?>(6w-i- 1 — 3«/,)-+-c(3^, — 6w— 1), (3) 



les coefficients «, &, c pouvant être exprimés par les 

 égalités 



6 = 4(1 







a"2 



a'"^) 



a 



2(J/, 



-2) 



a 



2(2/.,-H)\ 



dans lesquelles a représente une des racines imagi- 



ys 



naires — -^iïi — .v — Ide l'équation a? — 1 =0. 

 Pour le but que nous avons en vue, ces trois expres- 

 sions ne nous sont pas nécessaires: il nous suffira 

 d'avoir égard à la seule propriété caractéristique des 

 trois coefficients «, 6, c, qui consiste en ce que, dans 

 le passage de chaque élément «/^ au suivant y^_^_^■| l'un 

 de ces trois symboles se réduit à runité, et les deux 

 autres s'annulent. 



Si dans l'équation (3) mise sous la forme 



y,, = 3 (a — b-*-c) y, -t- {b — c) P, 



nous faisons, pour abréger, 



a — h -i- c^= i et h-^^c =j, 



nous aurons simplement 



«/2=3«>/, -+-iP, (4) 



i admettant les deux valeurs -<- 1 et — 1 , et j les 

 trois suivantes: -1- 1 , et — 1. 



