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des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



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qui se rapporte au premier cas, puisqu'on a /'=2n 

 = 6.4-+- 1. Clierclioiis le minhmim ^^ de l'expo- 

 sant X qui rend ^^ zp 1 divisible par 25. Pour 

 cela, écrivons dans la colonne J\'» 1 du tableau ci- 

 dessous les —5- = 3n = 12 nombres 1, 2, 3,. . . 12 

 dans leur ordre naturel, et, en regard, dans la colonne 

 •Y^ 2, les mêmes nombres, mais dans un ordre arti- 

 ficiel que nous allons indiquer. Commençons par dis- 

 tribuer ces 12 nombres 1, 2, 3, . . . 12 en trois groupes 



f groupe: 3, 6, 9, 12a=0(mod. 3) 

 2""' groupe: 1, 4, 7, 10=1 (mod. 3) 

 3'"" groupe: 2, .5, 8, 11^2 (mod. 3), 



de sorte que, conformément à cette distribution, les 

 éléments de chacun d'eux donnent le même résidu 

 par rap])ort au module 3. Pour former la colonne 

 .As 2, nous écrivons d'abord les nombres du premier 

 groupe dans leur ordre ascendant , puis ceux du se- 

 cond, mais dans l'ordre inverse, et, en dernier lieu, 

 ceux du troisième groupe dans l'ordre direct. Nous 

 aurons de cette manière les deux aggrégats suivants: 



Cela fait, marquons d'un astérisque le nombre 1 

 de la première colonne, et voyons à quel nombre ce 

 1* correspond dans la seconde; nous trouvons 3 en 

 regard de 1*; revenant à l'aggrégat J\'s 1 , nous y mar- 

 quons d"un astérisque ce nombre 3*; puis le nombre 

 9* qui, dans la colonne .Y? 2, correspond à ce 3*; de 

 même nous marquons stucessivemcnt 2*, 6*, 7*, 4*, 

 12*, 11* et, finalement. 8* qui correspond à l'élé- 

 ment primitif 1 de la colonne .Y' 2; on revient ainsi à 

 l'élément l*par lequel on a commencé, et l'opération 

 est terminée: la totalité 10 des nombres marqués 

 d'astérisques sera précisément égale au tninimnm 



cherché \t.^^ de l'exposant x. Quant au signe de VîiHité 

 d^ns la congruence proposée, on le 1 cconnaîtra de suite 

 soit, dans notre cas particulier, par la considération 

 du dernier chiffre à droite dans les puissances succes- 

 sives de 3, soit par un caractère général qui sera ex- 

 posé ))lus bas. Dans l'exemple actuel on aura 



3 '" -H 1 = 25 . 2362 = (mod. 25). 



On trouvera de la même manière l'exposant inhii- 

 mum {Xg pour tout autre module de la forme 6w -»- 1 : 

 en voici quelques exemples: 



Passons actuellement à la démonstration du pro- 

 cédé qui vient d'être exposé. Soit P = Gn -t- \ le 



module; distribuons les --j 

 1, ^, o, 



= 'an nombres 

 . . 3n 



entre trois groupes , de sorte que les éléments de 

 chacun d'eux donnent le même résidu par rapport au 

 module 3; nous aurons 



1 groupe: 

 2'^' groupe: 

 3'"" groupe: 



3, 6, 9, 3w =0 (mod. 3) 



1. 4, 7, 3»— 2= 1 (mod. 3) 



2, 5, 8, 3w— 1 =2 (mod. 3). 



Conformément à ce qui a été fait plus haut, écri- 



vons dans l'ordre ascen(?ant les 



= dh nombres 



1, 2, 3, on 



pour former la colonne A'ji 1 . En regard de ces élé- 

 ments-du J\» 1 nous distribuons, dans la colonne JVs 2, 

 les mêmes nombres dans l'ordre qui suit: d'abord les 

 nombres 3. 6. 9, . . . 3« du premier groupe dans 

 l'ordre direct : ensuite ceux du second , mais dans 



l'ordre inverse: 3« — 2 7. 4. 1; enfin ceux du 



troisième 2, 5, 8,. ... 3w — 1 dans l'ordre direct. 

 De cette manière nous Ibrmons le tableau suivant: 



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