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Bulletin de r/%cadéniie Impériale 



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un polyèdre à sommets simples et qui rentre, par 

 conséquent, dans le cas précédent, à cela près qu'un 

 certain nombre de ses arêtes auront la valeur parti- 

 culière nulle. 



Or, il est aisé de vérifier que les calculs et les 

 raisonnements que nous avons faits au sujet des po- 

 lyèdres en général, subsistent encore lorsqu'une ou 

 plusieurs arêtes sont nulles, pourvu qu'on tienne tou- 

 jours compte de ces arêtes et des angles dièdres qui 

 leur correspondent. On peut voir, en particulier, que 

 les formules (2) et (4) ne cessent pas d'être vraies, si 

 quelques-unes des arêtes se réduisent à des points. 

 Il en est de même de l'équation (6); seulement il faut 

 observer que si une arête a est nulle, le rayon cor- 

 respondant p peut être nul ou indéterminé, tandis que 

 le rapport -, qui dépend uniquement des inclinaisons 

 mutuelles des plans et nullement de la valeur abso- 

 lue de a, a toujours une valeur déterminée, qui est 

 finie dans le premier cas et nulle dans le second. Par- 

 tant des formules (2), (4), (G) ainsi généralisées, on 

 obtient la môme condition de maximum (7) qu'aupa- 

 ravant. Cette fois il est préférable de lui donner la 

 forme ,„ „s 



et d'examiner les signes du facteur - — ^ qui est 

 toujours fini. La question se trouve ainsi ramenée au 

 cas déjà traité dans le JVs 6. Par conséquent, on est 

 autorisé à conclure que la différence - — ^ doit s'é- 

 vanouir pour toutes les arêtes du polyèdre, y compris 

 celles qui sont nulles. Il en résulte p = i? pour toute 

 arête a qui diffère de zéro. Pour = le terme ^ 

 s'évanouit, il faut donc qu'on ait aussi - = 0. Cette 

 dernière condition, qui est relative aux angles solides 

 multiples, laisse, comme nous l'avons dit, le rayon p 

 indéterminé, et elle exprime, par conséquent, que les 

 plans qui forment un tel angle, pris à quatre, sont 

 circonscriptibles à un cône droit. Pour satisfaire à 

 ces différentes conditions relatives à toutes les arêtes, 

 il faut évidemment que le polyèdre soit, dans ce cas 

 encore, circonscrit à une sphère, dont le rayon est B. 



8. 

 En résumant les résultats de toute notre discus- 

 sion, nous pouvons, dès-à-présent, énoncer le théo- 

 rème suivant: 



Le polyèdre convexe qui sous une étendue superfi- 

 cielle donnée renferme le plus grand volume, le nombre 

 des faces et leurs inclinaisons mutuelles étant détermi- 

 nés^ est nécessairement circonscrit à une sphère. 



Ce polyèdre est unique. Car, si l'on prend le point 

 pour centre d'une sphère de rayon arbitraire, les 

 perpendiculaires p, q, r, . . . , dont les directions sont 

 données, déterminent les points de contact du seul 

 polyèdre circonscrit dont les faces aient les directions 

 voulues, et il ne s'agit dès lors que de donner à cette 

 sphère des dimensions convenables pour que la sur- 

 face du polyèdre devienne ce qu'elle doit être. Or, 

 l'existence du maximum est évidente à priori , et 

 comme il n'y a qu'un seul polyèdre qui remplisse la 

 condition énoncée dans notre théorème, il en résulte 

 que cette condition nécessaire est aussi suffisante, 

 c'est-à-dire que le poljèdre circonscrit à une sphère 

 est réellement le plus grand parmi tous ceux de même 

 surface qu'on pourrait former avec le même nombre 

 de plans en conservant leurs inclinaisons mutuelles. 



9. 



Jusqu'ici nous n'avons comparé entre eux que des 

 polyèdres dont les faces ont les mêmes directions ou 

 les mêmes inclinaisons mutuelles. Écartons mainte- 

 nant cette restriction et admettons plus généralement 

 que les faces, en nombre donné, puissent varier de 

 toutes les manières, pourvu que leur étendue totale 

 soit constante. Pour le maximum d'un pohèdre, placé 

 dans ces nouvelles circonstances, la condition d'être 

 circonscrit à une sphère subsiste toujours, mais elle 

 n'est plus suffisante. Il faut en outre que chacune 

 des faces soit touchée au centre de gravité de son aire 

 par la sphère inscrite. 



Pour le démontrer, considérons un polyèdre P cir- 

 conscrit à une sphère, et supposons que le point de 

 contact d'une certaine face ne coïncide pas avec le 

 centre de gravité de son aire. Imaginons que cette 

 face tourne infiniment peu autour d'une droite menée 

 dans son plan et passant par son centre de gravité, de 

 manière à s'éloigner de la sphère; on voit, par le 

 théorème de Guldin, que l'accroissement correspon- 

 dant du volume V sera un infiniment petit du second 

 ordre, et si l'on ramène ensuite le plan parallèlement 

 à lui-même en contact avec la sphère, le volume dimi- 

 nuera d'une quantité infiniment petite du premier 



