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des Sciences de Saint 'Pt^terabourg:. 



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Soit V le nonibVe total des variations que Ton ren- 

 contre en faisant le tour de toutes les faces du po- 

 lyèdre après avoir donné un signe arbitraire à cha- 

 cune des arêtes qui n'en portent aucun. On devra, 

 évidemment, obtenir le même nombre en comptant les 

 variations autour des angles solides. Or, chaque angle 

 solide ne peut présenter, sur les trois arêtes qui y 

 aboutissent, que deux variations tout au plus. On 

 aura donc à la fois v > 4f et v <i 2s, c'est-à-dire 



r>*^k-t-8 et v < ^k, 

 ce qui implique une contradiction évidente. Donc il 

 est impossible que toutes les faces contiennent des 

 arêtes pour lesquelles la quantité -^ soit diffé- 

 rente de zéro. 



Voyons maintenant, si cette quantité peut se ré- 

 duire à zéro le long du contour de certaines faces 

 sans être nulle pour toutes les arêtes du polyèdre. 



Soit A = ahcd une des faces dont il s'agit, et dont 

 les arêtes ne portent aucun signe , et 2? = ahefg 

 une face adjacente. Imaginons qu'on supprime l'arête 

 ab , commune à ces faces , et qu'on redresse les 

 lignes brisées dag et cbe en leur substituant les 

 nouvelles arêtes rectilignes dg et ce, auxquelles on 

 donnera les signes des arêtes supprimées ag et le. 

 Par là les deux faces ^ et 5 se réuniront en un 

 seul polygone gauche cefgd, dont le contour présen- 

 tera exactement le même nombre de variations de 

 signes que ceux des deux faces A et B ensemble. 

 Quant aux autres faces adjacentes C et JD, cha- 

 cune d'elles offrira autant de variations après qu'a- 

 vant cette transformation, en sorte que le nombre 

 total des variations n'aura subi aucun changement. 

 En continuant ce procédé, on fera disparaître une à 

 une toutes les faces dont les arêtes ne portent aucun 

 signe, jusqu'à ce qu'on ait transformé la figure pri- 

 mitive en un réseau polyédrique dans lequel chaque 



polygone latéral i)résente au moins quatre variations 

 de signe. Or, chaque fois qu'on supprimera ainsi une 

 face, on fera disparaître en même temps deux som- 

 mets et trois arêtes, d'où il résulte qu'on désignant 

 par Ji', /',' a' les nombres respectifs des arêtes, des faces 

 et des sommets de la figure transformée, on aura 



/- /./ i- — r .< - !>' 



' ' 3 ~T'' 



De là . à l'aide des formules (8) on déduit facilement 



..' 2 ?.' 



5 ô/i, 



Ainsi, les mêmes relations qui avaient lieu entre les 

 nombres des arêtes, des sommets et des faces du po- 

 lyèdre primitif, subsistent encore dans la figure trans- 

 formée. D'ailleurs chaque sommet de celle-ci est aussi 

 formé par trois arêtes. Donc cette figure rentre com- 

 plètement dans l'hypothèse déjà examiné. 



Il résulte de cette discussion que pour un polyèdre 

 maximum dont tous les sommets sont simples, la dif- 

 férence -^ est constamment nulle, ce qui veut 



dire que le polyèdre est circonscrit à une sphère de 

 rayon H. 



7. 



Cas où il existe des sommets nndtiples. — Lorsqu'un 

 polyèdre a des sommets multiples, on peut le consi- 

 dérer comme cas limite d'un autre polj-èdre à faces 

 variables, et dont tous les sommets sont simples. Soit 

 S un sommet du degré n de multiplicité ou formé par 

 H -+- 2 plans. Si Ton fait mouvoir un de ces plans A 

 parallèlement à lui-même vers l'intérieur du polyèdre, 

 le sommet S se partagera évidemment en n sommets 

 simples, et en même temps le polyèdre acquerra n — 1 

 arêtes nouvelles, qui entreront toutes dans le péri- 

 mètre de la face A. Si le plan A se mouvait vers 

 l'extérieur, il n'en résulterait qu'un sommet nouveau 

 et une arête nouvelle, qui serait alors commune aux 

 deux faces adjacentes à A. Le sommet S resterait à 

 sa place, mais son degré de multiplicité serait dimi- 

 nué d'une unité. 



En général, il est toujours permis de regarder un 

 sommet multiple du degré n comme la réunion de n 

 sommets simples confondus par l'évanouissement de 

 n — 1 arêtes qui les avaient séparés. Restituons par 

 la pensée toutes ces arêtes disparues, et nous aurons 



