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Bulletin de l'/%cadëinie Impériale 



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cela, la somme 2.( ^j ah ne saurait être nulle. 



Ajoutons qu'il existe alors au moins deux côtés affec- 

 tés du signe -h et deux autres marqués du signe — . 

 Car, en supposant qu'il n'y eût qu'un seul côté por- 

 tant un certain signe, il suffirait de placer le point P 

 sur ce côté même pour prouver que l'équation (7) se- 

 rait alors impossible. 



Je dis de plus que les signes des différens côtés 

 doivent alterner de manière à présenter au moins 

 quatre variations, en faisant le tour du polygone. En 

 effet, s'il n'y avait que deux suites de signes, de sorte 

 que toutes les arêtes marquées du signe -+- se trou- 

 veraient d'un côté d'une certaine diagonale et toutes 

 celles marquées du signe — de l'autre, il suffirait de 

 placer l'origine P au point de rencontre des deux 

 arêtes extrêmes soit de la suite positive, soit de la 

 suite négative, pour faire prendre le même signe à 

 tous les termes de l'équation (7). Cette démonstra- 

 tion n'est jamais en défaut, puisque, le polygone étant 

 convexe, il est impossible que les deux couples d'a- 

 rêtes dont il s'agit, soient parallèles à la fois. 



Il est donc bien prouvé que si la différence -^ 



n'est pas nulle pour toutes les arêtes d'une face, on 

 trouvera , en suivant le contour de cette face , au 

 moins quatre variations de signe. 



De là on peut conclure immédiatement: 1° que la 

 différence dont il s'agit , est nulle pour toutes les 

 arêtes d'une face triangulaire ; puisqu'autrement il 

 faudrait que les trois arêtes présentassent quatre va- 

 riations de signe, ce qui est absurde; 2° que si cette 

 différence est nulle pour un côté d'une face tétrago- 

 nale, elle est nulle sur son contour entier; 3" qu'elle 

 est nulle pour toutes les arêtes d'une face pentago- 

 nale, aussitôt qu'elle s'évanouit pour deux d'entre 

 elles, et ainsi de suite. En général, on. peut affirmer 



que la quantité ^ est constamment nulle sur le 



contour d'une face de m côtés, quand on sait seule- 

 ment qu'elle s'évanouit pour m — 3 d'entre eux. 



Mais il faut démontrer que cette quantité est né- 

 cessairement nulle pour toutes les arêtes du polyèdre 

 maximum. Pour cela, il est utile de faire, avant tout, 

 la distinction suivante. 



Lorsqu'un sommet ou angle solide est formé par 

 trois plans seulement, nous dirons qu'il est simple; 

 nous l'appelerons double , s'il est formé par quatre 



plans, trijjle s'il est formé par cinq plans, etc. En 

 général le degré de multiplicité d'un angle solide est 

 inférieur do deux unités au nombre des plans qui 

 concourent à sa formation. Cela convenu, il peut ar- 

 river, suivant la disposition des plans limites, que 

 tous les sommets du polyèdre maximum soient sim- 

 ples, ou bien qu'il existe aussi des sommets multiples. 

 Dans le premier cas il n'y a jamais qu'une seule va- 

 leur de p correspondante à une arête donnée a, tan- 

 dis que, dans le second, p pourrait avoir des valeurs 

 différentes dans les deux faces auxquelles cette même 

 arête appartient. C'est pourquoi il convient de traiter 

 séparément ces deux cas. 



6. 



Cas où il n'y a que des sommets simples. — Suivant 

 la remarque que nous venons de faire, la quantité 



-g ne peut avoir, dans le cas actuel, qu'une seule 



valeur pour chaque arête du polyèdre. Si elle n'est 

 pas constamment nulle, il existera un certain nombre 

 d'arêtes pour lesquelles cette quantité sera essentiel- 

 lement positive ou négative, et qui seront, par consé- 

 quent, affectées de signes déterminés -h ou — . De 

 telles arêtes peuvent entrer dans le contour de cha- 

 cune des faces ou dans celui de quelques faces seu- 

 lement. 



Examinons d'abord la première supposition, par 

 laquelle il est stipulé que chaque face renferme dans 

 son périmètre quelque arête marquée d'un certain 

 signe. Comme nous l'avons vu, l'existence d'une seule 

 arête de cette espèce entraîne celle de plusieurs au- 

 tres, de sorte que chaque face doit alors présenter 

 au moins quatre variations de signe. Désignons par 

 s le nombre des sommets du polyèdre, par f le nombre 

 des faces et par k celui des arêtes; ces nombres se- 

 ront liés entre eux, d'après le théorème d'Euler, par 



la relation 



•sH-/=^--+-2; 



et comme tous les sommets sont simples ou formés 

 par trois arêtes, on aura aussi 



3s = 21c, 

 d'où il résulte 

 i 



(8) 



i 



\f- 



k — s- 



i^ 



