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des Sciences de Saint - Pdtersbourg:. 



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Bezeichnen wir nun die Sumnie der drei ersten 

 Glieder dièses Ausdruckcs kurzweg mit D,, so konnen 

 wir setzen 



D^ = m [1 -t- /"cos (c' -H F)], 



wo Logw = 1.6638125 



_ /• = 9. 9895303 

 ii'=26^57'7'.68 



Aus den eben aufgestellten Ausdriicken flir D, kon- 

 nen wir leicht die folgenden ableiten 



D^ = m, [1 -t- 2^, cos (c' -H F) ^- V] 

 und 7), = m^ [1 — 1^ sin J (c -t- Ff\ 



Es ist dabei gesetzt worden 



m 





■h,f 



und ans dem nnmerischen Betrage der Grosse /"fin- 



•^'"^*'' Logl-. = 9. 9042546 

 — fc=9. 9973668 



Aus diesen Zahlenangaben ersieht man sogleich, 

 dass die Convergenz bei den negativen Potenzen von 

 Dj, wenn sie nach den Vielfachen von c cntwickelt 

 werden, eine sebr geringe ist. Der Coefficient von 



3 



cos 50 (c' -+- F) in I)r^ wiirde z. B. noch 



. 00063 



betragen. Setzt man dagegen 

 i(c'-«-F) 



am — ^X^modk 



und ordnet die Entwicklungeu nach den Vielfachen 

 von X) so wird man auf eine erheblich raschere Con- 

 vergenz gefiihrt. In dem vorliegenden Beispiel fand ich 



Log?|=0 



3605903 



_ ^ = 9.4034325 

 _ A;' = 9. 0405495 



Mit diesen Werthen fand ich ferner den folgenden 



Ausdruck fiir Z>,~'2, wobei eine verhaltnissmilssig 

 recht erhebliche Convergenz zu Tage tritt. 



fe|' = [2.2219346] 



— [2.4437459]çosx 

 -4- [2. 23 16002] cos 2x 



— [1.9240151]cos3x 

 -t- [1.552229] cos 4x 

 — [1.1 37307] cos 5x 

 -+- [0.692340] cos 6x 



— [0.22544] cos 7x 

 -+-[9.73891]cos8x 



— [9.24612]cos9x 

 -+-[8.7397]coslOx 



— [8.2240]cosllx 

 -«-[7.7032]cosl2x 



— [7.1755]cosl3x 

 -+-[6.643]cosl4x 



Ich fiihre noch den folgenden Ausdruck an, weil 

 derselbe, wie man leicht erkennen kann, bei der ana- 

 lytischen Entwicklung der negativen Potenzen von 

 (A) eine hervorragende Rolle spielt. 



m 



sin (c'h- F) 



D, 



[0. 5230759] sinx 



— [0.2527405] sin 2x 



-+-[9. 83 39306] sin 3x 



— [9. 362409] sin 4x 



-»- [8. 862758] sin 5x 



— [8. 34537] sin 6x 



-H [7. 8 157 6] sin 7x 



— [7. 2772] sin 8x 



-H [6. 7 3 2] sin 9x 



— [6.181]sinl0x 

 -i-[5.626]sinllx 



— [5.066]sinl2x 



Die bereits angefuhrten Zahlen geniigen, um die 

 Erhohung der Convergenz zu veranschaulichen , wel- 

 che durch Einfiihrung elliptischer Functionen bei 

 der Entwicklung der Storungsfunction erzielt werden 

 kann. Eine solche gri3ssere Convergenz in Bezug auf 

 die zweite Variable liisst sich aber noch durch ein 

 anderesMittel, wozu derGrundgedanke beiLegendre 

 zu suchen ist, hervorbringen. Man findet das hierauf 

 Bezugliche im zweiten Theile seines Traité des fonc- 

 tions elliptiques, Appendice I, aber soin Gedanke ist 



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