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des Sciences de Saint -Pc''<epsboups>:. 



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planes curvilignes, qui mérite d'être signalée en pas- 

 sant; c'est qu'en désignant par f l'aire décrite par le 

 rayon vecteur mené d'un point quelconque, et par p 

 le rayon de courbure, V intégrale f~ prise le long du 

 contour entier est constante, et égale au périmètre de la 

 figure. 



4. 



Pour en venir à la question du maximum d'un po- 

 lyèdre, admettons que les perpendiculaires p, q, r,. . . 

 abaissées d'un point fixe sur les faces du polyèdre 

 soient variables en grandeur, tout en conservant leurs 

 directions , et cherchons les conditions nécessaires 

 pour que le volume F soit maximum, la surface U 

 étant donnée. Elles sont contenues dans les équations 

 simultanées (/F= 0, dU ^ 0, qui deviennent, en pre- 

 nant p, 2, »',••• pour variables principales, 



= Adp -H Bdq -+- Cdr -+-... 



= 2(«cot^).#-i-2('6cot|).(?5-t-2(ccot^).cZr-H...; 



et comme la première équation doit avoir lieu pour 

 toutes les valeurs de dp, dq, dr, . . . qui satisfont à la 

 seconde, il faut que les coefficients de ces différen- 

 tielles soient proportionnels, c'est-à-dire qu'on ait 



-ABC 



Sa cot - 



Sb cot I 



2c cot -^ 



3F 

 2U' 



La dernière fraction est obtenue en ajoutant les 

 numérateurs et les dénominateurs de celles qui pré- 

 cèdent, après avoir multiplié les deux termes de la 

 première fraction par jj, ceux de la seconde par q et 

 ainsi de suite. En faisant 



E- 





on aura 



2^ = B2acot|, 

 2C=iî2ccot^, 



Ainsi, dans le cas du maximum d'un polyèdre, une 

 face quelconque est proportionnelle à la somme de ses 

 arêtes respectivement nmlfipliées par la cotangente du 

 demi-angle dièdre correspondant. 



On lient donner à ce résultat une expression plus 

 simple. En effet, si l'on a égard aux formules (5) et 

 (G), la première des équations que nous venons de 

 trouver, peut s'écrire 



p ' 

 ou, en transposant. 



(^-i)«A-^-(p;-i)«^''2-^-(}^-i)«3''3-+--=o, 



ce que nous désignons simplement par 



Telle est, en définitive, la condition à laquelle cha- 

 cune des faces doit satisfaire séparément pour que le 

 polyèdre soit maximum, et cela quelle que soit, dans 

 le plan que l'on considère, l'origine des perpendicu- 

 laires h. 



Cette condition est évidemment remplie, lorsque le 

 polyèdre est circonscrit à une sphère , puisque R 

 signifie alors le rayon de cette sphère, et que toutes 

 les sphères conjuguées aux différentes arêtes coïnci- 

 dent avec celle-ci, de sorte qu'on aura constamment 

 ? = i?. Mais il s'agit de démontrer réciproquement 

 que si la condition (7) est remplie pour chacune des 

 faces , le polyèdre est nécessairement circonscrit à 

 une sphère. 



5. 



Considérons une face particulière A formée par un 

 nombre quelconque d'arêtes. Nous avons démontré 

 que pour cette face, comme pour toute autre, l'équa- 

 tion (7) a nécessairement lieu, quelle que soit, dans 

 le plan du polygone A, l'origine P des perpendicu- 

 laires h abaissées sur les côtés de ce polygone. Pour 

 chacune des arêtes la différence ^^ a une valeur 



p IX 



déterminée, qui peut être positive ou négative, si elle 

 n'est pas nulle. Supposons qu'on marque sur chaque 

 arête le signe correspondant de la différence dont il 

 s'agit, et examinons les dispositions que peuvent pré- 

 senter ces signes. 



Si l'on prend le point P dans l'intérieur du poly- 

 gone , les perpendiculaires h, et par conséquent les 

 produits ah, seront tous positifs. Il en résulte que si 

 la différence — — ^ n'est pas nulle sur le contour 

 entier du polygone, elle est positive pour quelques 

 côtés et négative pour quelques autres, parce que, sans 



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