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Bulletin de l'j^cadémie Impériale 



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3. 



On peut donner à l'expression 2 (acot^ j une autre 

 forme plus commode pour les applications que nous 

 avons en vue, par la considération des sphères in- 

 scrites qui touchent chacune la face A et trois autres 

 faces adjacentes. Concevons une sphère inscrite à la 

 fois dans les trois angles dièdres consécutifs «i, a.,, a, 

 et tangente, par conséquent, aux quatre faces conti- 

 guës à l'arête a.,. Cette sphère, qu'on pourrait dire 

 conjuguée à l'arête a^, est parfaitement déterminée. 

 A chacune des arêtes «,, «,, a^, ... du polygone A 

 correspond ainsi une sphère inscrite; nous désignons 

 respectivement par çi,, p^, ç^, . . . les raj-ons de ces 

 sphères. 



Soit P un point fixe pris dans le plan du polygone 

 A et /?,, ho, ho,... les perpendiculaires abaissées de 

 ce point sur les droites a,, a.,, a-,,. . . Si l'on convient 

 de regarder chacune de ces perpendiculaires comme 

 positive ou négative, suivant qu'elle tombe du même 

 côté que le polygone, ou du côté opposé de la droite 

 correspondante, on aura, dans tous les cas, et quel 

 que soit le point P, qu'il se trouve dans l'intérieur 

 ou à l'extérieur du polygone, ou même sur son con- 

 tour, 



(5) 2A = rt|7î, -+- aJio -4- «3/^3 -t" . . . 



Supposons maintenant que la droite «, se déplace 

 parallèlement à elle-même, de manière que la perpen- 

 diculaire \ reçoive un accroissement infiniment petit 

 flh.^; les trois arêtes «,, a.,, «3 ainsi que la surface A 

 seront variables en mêni^e temps, et l'on trouve, en 

 prenant la différentielle sous ce point de vue, 



2dA = aullu -+- h,da, -+- Ji,(la., -+- Juda->. 



Mais l'on a aussi évidemment dA 

 mule précédente se réduit donc à 



cudlh; la for- 



dA = hida, -+- hoda^, -+- h^dtto. 



Cette équation ayant lieu quel que soit le point P, il 

 est permis de substituer aux perpendiculaires h^,h2,ho 

 les valeurs particulières p^cot'Jf, p^cot^-, Pg^^ot^^ 

 qu'elles prendraient, si le point P coïncidait avec le 

 point de contact de la sphère inscrite conjuguée à 

 l'arête a^. Ainsi l'on aura pour dA ces deux expres- 

 sions équivalentes: 



p., (cot ^,' (?rt, -H cot "1 doo -+■ cot "^ da^) = a^dli^, 



d'où il résulte, en admettant que les angles a restent 

 constants, 



rf2(«cot|)=;^c?7.,. 



Telle est la différentielle de la somme 2 (acot|^j 

 prise par rapport à \ comme seule variable indépen- 

 dante. Mais si toutes les perpendiculaires A,, li^, A3,... 

 venaient à varier simultanément par un déplacement 

 parallèle de tous les côtés du polygone A, l'expres- 

 sion précédente acquerrait d'autres termes de la même 

 forme, et la différentielle totale de 2 serait 



cot -^ da^ 



cot ^ da^ 



Pi ' 



Pa ^ 



En supposant la dilatation du polygone uniforme, 

 ou telle qu'on ait 



(Za, da^ dhi rf/jj 



«, «2 ' ' ' /»! /jj ■ • • ' 



on déduit la relfition suivante: 



rt, cot 2 



«.^cot-^- 



Pi ' 



P2 ^ 



que nous écrivons plus simplement 



(6) 



2(rtC0t; 



P ' 



en sous -entendant que la somme 2 s'étend à toutes 

 les arêtes qui forment le polygone A. 



L'équation (G) qui a lieu quelle que soit, dans le 

 plan du polygone A, l'origine des perpendiculaires li, 

 est en elle-même assez remarquable. Elle fait voir 

 que la somme 2 - li est constante pour un polygone 

 donné, et même qu'il existe une infinité de systèmes 

 de paramètres p capables de produire cet effet. Car, 

 tout en conservant les arêtes du polygone, on pour- 

 rait assigner aux angles dièdres a des valeurs quel- 

 conques, et les valeurs correspondantes des rayons p 

 des sphères inscrites satisferaient toujours à la con- 

 dition dont il s'agit. 



On peut supposer, en particulier, que les angles a 

 soient tous égaux à 90"; alors les paramètres p signi- 

 fient les rayons des cercles inscrits dans le polygone 

 A de manière que chacun d'eux soit tangent à trois 

 côtés successifs, et l'équation (C) exprime que la 

 soinme 2 — est égale au périmètre du polygone. Sup- 

 posant encore que le nombre des côtés devienne in- 

 fini, on en tire une proposition générale sur les figures 



