BULLETIN 



W L'ACADEMIE I3IPERIALE DES SCIENCES DE ST.-PETERSBOURG. 



Propriétés générales des polyèdres qui, sous une 

 étendue superficielle donnée, renferment le 

 plus grand volume; par L. Lindelôf. (Lu le 



3 juin 18G9.) 



1. 



posé, concevons que le plan du polygone A se dé- 

 place parallèlement à lui-même, de sorte que la dis- 

 tance }} reçoive un accroissement infiniment petit di); 

 l'accroissement correspondant du volume F sera évi- 

 demment Adp et celui de la surface totale U 



Dans un mémoire célèbre publié en 1842 et inséré 

 dans le tome XXIV du Journal de Crelle, M. Steiner 

 a démontré plusieurs propositions concernant le maxi- 

 mum de certains corps prismatiques et pyramidaux, et 

 a fait ressortir particulièrement la propriété que le 

 plus grand de ces polyèdres est circonscrit à une 

 sphère qui touche toutes ses faces dans leurs centres 

 de gravité. Mais il ajoute lui-même que les résultats 

 qu'il a trouvés, «ne doivent être regardés que comme 

 un commencement des recherches sur les polyèdres 

 en général». Parmi les questions qui restent encore 

 à résoudre, il indique comme la plus importante celle 

 de savoir si la propriété dont il s'agit, convient géné- 

 ralement à tous les polyèdres convexes, ou quelle est 

 la classe de polyèdres auxquels elle convient. C'est 

 cette question qui sera l'objet principal de notre re- 

 cherche. Nous allons examiner sous quelles condi- 

 tions un polyèdre convexe d'espèce quelconque et de j 

 surface donnée a le plus grand volume, et nous fe- 

 rons voir que le théorème de Steiner subsiste en 

 effet, comme il l'avait conjecturé, pour tous les po- 

 lyèdres convexes. 



i 

 2. I 



Nous commençons par établir quelques formules ; 

 relatives aux polyèdres en général. Soit ?71a surface 

 totale et V le volume d'un polyèdre convexe. D'un | 

 point fixe 0, pris dans son intérieur, abaissons des î 

 perpendiculaires i), q, r,. . . sur toutes les faces A, 



B, C,. . . du polyèdre. Désignons par o,, a,^, «,,... 

 les arêtes qui forment le polygone A, et par a,, a.,, 

 «3, . . . les angles dièdres correspondants. Pour la 

 face B ces mêmes quantités seront désignées par 

 &,, b^, &3,... et ^,, p2, P3,---. poil'' la face (7 par 



C, Co, Cg, . . . et Yi, Yj, Ya, • • • et ainsi de suite. Cela 



Tome XIY. 



(a, cot ^ -+- «, cot '^ -+-...) d}) =^ dp ^a cot 



la sommation s'étendant au contour entier du poly- 

 I gone A. On trouve des expressions analogues pour 

 1 les accroissements de V et U que produirait un dé- 

 placement parallèle et infiniment petit de la face B 

 \ ou d'une autre face quelconque , de sorte que , si 

 toutes les perpendiculaires p, q, r, . . . étaient varia- 

 bles, leurs directions étant constantes, les différen- 

 ! tielles totales de V et U seraient 



(1 ) dV--= Adp -H Bdq -*-Cdr-t-... 



{1)dU=2.(acot^)dp-^-I.(hcot^'jdq~i-2(ccotfjdr-^-... 



Pour en tirer les valeurs de Uet de F en termes finis, 

 on peut supposer la dilatation du polyèdre uniforme 

 ou telle que les perpendiculaires p, q, r, . . . croissent 

 toutes en même propoi'tion. La dilatation relative du 

 volume étant alors le triple et celle de la surface le 

 double de la dilatation linéaire, on aura dans cette 

 supposition 



et il sera permis de remplacer, dans les équations 

 (1) et (2), les différentielles dV, dU, dp, dq, dr, . . . 

 par les quantités proportionnelles 3F, 2U, p, q, r,..., 

 ce qui conduit immédiatement aux formules 



(3) iV=Ap^Bq^Cr^ . . . 



(4) 26'-;j2('rtCOt|)-H22(jcot|)-Hr2(ccot|)-.-..., 



dont la première est bien connue, tandis que la se- 

 conde renferme une expression nouvelle de l'aire 

 totale d'un polyèdre. 



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