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seits and deiii stillcn Océan amlerei^eits cigentlniin- 

 liclien Alciden war demnacli mit Sicherheit friilier, 

 als Alca impennis iioch lebte, wie 4:14, oder wenn 

 auch Mergidus Aile zu deueigeiitliiimlicheu Bewohiiern 

 desgrossen Nordmeeres gehort wie 5:14. Gegonwartig 

 kann es mit Sicliorheit (d. li. mit Ausseliluss \on3Ier- 

 gnlus Aile und Alca hnpennis) nur wie 3:14 ange- 

 nommen werden. 



Die iiberwiegende Artenzahl der Alciden des stilien 

 Océans zeigt ubrigeus sechs generische, wie wir obeii 

 sahen, den Typiis der Alcenfamilie so mannichfacli 

 variireude Formen {Brachyramphiis, Synthlïboramphus, 

 PtijchoranipliKS ,Simorhyuchus , Omhria und Ceraforhina), 

 welche dem polaren, grosseii Océan ganziich fehlen, 

 der als ihni mit Sicherheit eigenthiimliche generische 

 Formen nur die Gattung Alca {Suhg. Plautus und Uia- 

 mania), vielleicht jedoch auch Mergulus, aufzuweisen 

 hat. Die Gattung Lunda ist zwar beiden grossen 

 Oceanen gemeinsam, jedoch im stiilen nicht durch eine 

 {Geratobkpharum) , sondern durch beide Untergattun- 

 gen {(■cratohlephanim und Gi/mnoblephamm) und zwei 

 Arten (Lunda cornkidata und cirrata), nicht durch 

 •eine Art {Lunda arctica) repriisentirt. Die Gattung 

 TJria mit ihren beiden Untergattungeu (Lomvia und 

 Uria) kommt zwar in beiden Oceanen vor; es bietet 

 aber der, durch die Gattungen Brachyramplms und 

 Syntlilihoramphus an urienartigen Formen ohnehin 

 viel reichcre, stille Océan, sogar noch eine Art der 

 Gattung Uria (Uria Carho) mehr als der grosse 

 nôrdliche. 



Sur le symbole de Legendre (- 1. Par V. Bounia- 

 kowsky. (Lu le 13 janvier 1870.) 



Dans un Mémoire inséré dans ce même Tome du 

 Bulletin*) j'ai établi une proposition générale relative 

 à la théorie des résidus, et j'en ai déduit la loi de ré- 

 ciprocité qui existe entre deux nombres premiers. Voici 

 cette proposition: 



Soient a et r deux entiers impairs, premiers entr'eux; 

 le nombre a est supposé donné et r astreint seidement, 

 outre la condition précédente, à rester compris entre les 

 limites 1 et 2a — i, inclusivement. Cela posé, en dé- 



*) Sur un théorème relatif à la tfiéorie des résidus et de son ap- 

 jjlicatioti à la démonstration de la loi de réciproc té de deux nombres 

 premiers. 



Tome XIV. 



signant par p un nombre premier absolu quelconque 

 (2 excepté), mis sous la forme 



p = 2an -+- r, 

 on aura toujours 



p-i 



a — l 



(I) 



a - =(— 1) ^ (moû.p), 



ou bien, en faisant usage du symbole connu, 



a — 1 



(!)=<-" ^ 



Vexposant m étant indépendant de n. 



Dans le présent article je compléterai ce théorème 

 en donnant l'expression de l'exposant m en fonction 

 de r, de a et d'une quantité auxiliaire qui dépend de 

 ces deux derniers nombres. 



Je commence par rappeler que cet exposant tn, 

 ainsi que cela a été exposé dans le Mémoire cité, re- 

 présente le nombre des solutions de l'inégalité 



^(t)<'-Î-' («) 



X admettant successivement toutes les valeurs com- 

 prises dans la suite 1, 2, 3,. . . ^-, et 7Î f^) dé- 

 signant, à l'ordinaire, le reste de la division de X>- 

 par a. 



Cela posé, la considération des valeurs relatives 

 de r et de rt donne lieu à deux cas possibles: r peut 

 être plus grand ou plus petit que a. Nous verrons 

 plus bas que, pour ce qui concerne la détermination 

 de m, l'un de ces cas se ramène de suite à l'autre; 

 c'est pourquoi il suffira de n'en traiter qu'un seul. 

 Supposons donc r > a, et faisons eu conséquence 



r = a -t- 2k, (3) 



k désignant un entier premier à or, et qui ue surpasse 



pas ^-^, puisque la valeur maximum de r est 2a — 1. 

 Considérons maintenant la suite des valeurs suc- 

 cessives de X , 



1,2,3, "-^ (4) 



et celle des valeurs correspondantes de -R(-^) 



fi(;), ^(ï). «(IV 



R 



a — l 



(5) 



Faisons voir d'abord que les ^-^ termes de la suite 

 (5) se composent de k progressions arithmétiques 

 croissantes, ayant chacune la même raison 2k, et dont 



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