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Bulletin de r/tcadéniie Impériale 



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les premiers termes sont égaux à des restes de cer- 

 tains multiples de r divisés par a\ en sorte que, gé- 

 néralement parlant, la suite (5) se décomposera en h 

 progressions arithmétiques, dont quelques-unes seront 

 formées de plusieurs termes consécutifs de cette même 

 suite, et d'autres, d'un terme unique. 



Pour démontrer la propriété qui vient d'être énon- 

 cée, observons d'abord qu'on aura en général (for- 

 mule (3)) 



le premier terme de la suite (5) sera donc 



et comme 2fc < a, on aura 



Si l'on représente par X, . 2Â; le dernier multiple de 

 Ih inférieur à «, les termes successifs de la première 

 progression qui correspondent aux valeurs 



1, 2, 3,....X, 

 de la suite (4), seront 



2/(;, 2.2Â;, 3.2fc, \.1l, 



X, étant déterminé par les deux conditions 



X, . 2& < « — 1 et (X, -H 1) 2fc > a — 1 , 

 qui donnent 



^.=^r-i-) («) 



Le terme de l'ordre X, -t- 1 de la suite (5), par le- 

 quel commencera la seconde progression, sera 



(X, -4- \)11i — a. 



En effet, on a d'abord 



(X,-«- 1)2^ — rt> 0; 



de plus, si l'on combine, par voie d'addition, l'iuégalité 



X,.2fc — ffl<0 

 avec l'identité 



2A; =r 2^, 

 on trouve 



(X, -+- 1)2A; — rt <2A;. 



Or, puisque 2it < o, on aura également 



(X, -I- 1) 2fc — a<a, 



et comme d'ailleurs on vient de voir que cette même 

 différence est positive, on en conclura qu'elle est pré- 

 cisément égale au nombre cherché. 



Si l'on suppose que 



(X, -+- X^) Ih — a 



soit le dernier terme de la seconde progression , en 

 sorte que l'on ait 



(X,-+-X,) 'ïk — a<a—\ 



et ~ 



(X] -t- Xo -H 1 ) 2^ — a > a — 1 , 



on en déduira 



X,-^X, = ^(^), (7) 



et la seconde progression sera composée des termes 



(Xj-t- 1)2/1; — a, (X,-h2)2A; — «, 

 (X,-h3)2/c — a,. . . (k^-\-\^'ïk — a 



qui correspondent aux nombres 



X,-i-l, X, -h2, X,-i-3,. . . X,-+-X.^ 



de la suite (4). 



Il est facile de voir que le terme de l'ordre Xj-hX^^-I 

 de la suite (5), par lequel commence la troisième pro- 

 gression, sera 



(X,-i-X,-^l) 2k — 2a. 



En effet, puisque 



(X.-i-X^) 2Jc — a<a, 

 ou bien 



{\-*-\)2k—2a<0, 



on aura, en ajoutant 2k aux deux membres de cette 

 inégalité, 



(X,-i-X.,-t- 1) 2k — 2a < 2k ou bien < o. 



D'un autre côté, puisque 



(X,-4-X,^-*- l)2k — a>a, 

 on aura aussi 



(X, -f-X.^-*- 1) 2fc — 2a>0; 



ce nombre (X, h- X^^ -h 1 ) 2fc — 2a étant conipris entre- 

 les limites o et a, exclusivement, satisfera aux condi- 

 tions requises 11 en résulte donc que les termes suc- 

 cessifs de la troisième progression, dont uous suppo- 

 serons la totalité égale à \, seront 



(Xi-+-X.^-*- 1) 2k— 2a 



(X, -*- Xj -H 2) 2fc — 2a 



(X, -»- Xj -♦- 3) 2k— 2a 



(X, -+- \ -t- X,) 2k — 2a, 



