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de» i^eieiico» de Saiii< - Pé(eryibouri>. 



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et ils correspoiideront aux nombres 



X, -+-X2-+-I, X, -i-X^-t-2, 



X,H-X,,-+-3,.... X,-i-X^-+-X3 



de la suite (4). Quant au nombre X3, il sera déter- 

 miné par les conditions 



i\ 



et 



(\ 



•X, 



X3) 2k - 

 ■l)2k- 



2a<a — 1 

 2a> a — 1, 



qui donnent 



\ = Ei 



3a — 1 



■1 ■ "2 • "3 — ^\ 2k I (^) 



En continuant ainsi, on verra que le premier terme 

 de la progression arithmétique portant le numéro 

 d'ordre s, sera 



\_,-*-\)2k—{s—\)a. 



(X, -4- X2 -H X3 -+- . 



et le dernier terme 



(X, -4- X3 -I- Xg -H . 



avec les conditions 

 (X, -♦- X., -f- X3 -t- . 

 et 



(X, -H Xj -+- X3-1- . . . 

 qui donnent 



X, -♦- X2 -+- X; 



"s — 1 



X^) 2k — {s—\)a 

 -»-X,)2A- — (s — l)a^«— i 



Xj-Hl)2fc— (s— l)a>a— 1, 



-••■-*-^. = ^(¥)---(9) 

 Cette dernière égalité conduit de suite à la valeur 

 du nombre total des progressions. En effet, en con- 

 servant s pour désigner ce nombre, il est visible qu'on 

 aura 



a — 1 TTi / sa 



X| -+- Xj ■+' X3 



E^- 



1 , 



^3^ . . . ^-..j— ^ — -\ 2k 



de cette égalité on conclut que l'expression fraction- 



a — 1 

 naire 



2k 



- ne peut différer, par excès, de '^—^ que 



d'une quantité inférieure à l'unité. Supposons donc 



sa — 1 



2k 



g— 1 

 ■ 2 



'2k' 



h étant positif et inférieur à 2fc; nous aurons 



, h-*-\ — k 

 a 



Or, puisque s et 'k sont des entiers, il faudra que 

 h -*- l — k soit nul ou divisible par a; la première 

 hypothèse est la seule admissible par la raison que 

 h-i-\ —k est inférieur à a. Pour le faire voir, ob- 

 servons que l'inégalité 



h<2k 



entraîne la suivante 



Ji-i-\ —k<k-+-]; 



ainsi, le maximum ûe h-t- \ — k ne pourrait être que 



k, qui est inférieure à ^^^ et, à fortiori, à a. On aura 



donc 



h-i-l —k = {). 



mum k 

 a— 1 



et par conséquent 



s = fc (10) 



Ainsi, il est prouvé que la suite (5), consistant en 

 -g— termes, est composée de k progressions arithmé- 

 tiques croissantes qui ont 2k pour raison commune. 

 Pour la valeur particulière ^"= 1, la suite (5) ne for- 

 mera qu'une seule progression; pour la valeur maxi- 

 "^, il y aura, analytiqucmcut parlant, 

 progressions; mais chacune d'elles se réduira à 

 un seul terme. Pour les valeurs intermédiaires de k 

 il arrivera que plus elles se rapprocheront de la limite 

 supérieure ^^, plus le nombre des progressions à 

 un seul terme sera grand. 



L'exemple numérique ci-dessous mettra en évidence 

 le mode de distribution des progressions arithméti- 

 ques dont il vient d'être question. Nous supposons 

 la base «=^21, et par conséquent ^^^ =10; quant 

 au nombre k qui doit être premier à a, il n'admettra 

 que les s/a; valeurs suivantes: 1, 2, 4, 5, 8 et 10. Les 

 différentes progressions ont été séparées les unes des 

 autres par des barres. 



Passons maintenant à la détermination du nombre 

 des ternies qui, dans chacune des progressions que 



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