.303 



Bulletin (le rAcadénile liiipépiaie 



504 



nous venons de considérer, satisfont à la condition (2). 

 Soit, en général, s le numéro d'ordre de la progres- 

 sion arithmétique croissante que l'on soumet à l'exa- 

 men. Son premier terme, comme nous l'avons vu plus 

 haut, sera 



(X,-t-X2-t-. . .-i-\_,-t-l)2k — {s—l)a; 

 si l'on représente par \t.^ le nombre des termes qui, 

 dans cette progression, satisfont à la condition (2), 

 on aura pour déterminer jt^ les deux conditions 



(X, H- Xo -H ...-+- >,_,-*- iJLj) 2^ — (s — 1) a < ^^ 

 et 



(ky-*-\-t-. . .-*-\_^-^-\^ 

 qui donnent de suite 



l)2k — {s — l)a>'-^, 



V.=E 



(s — l)a- 



r— 1 



2 



2k 



■^X, 



\-,)- 



Mais nous avons vu plus haut (formule (9)) que l'on a 



r — r 



donc 



1^» = -E 



(s-l)a- 



.^-.= ^1 2fc )' 



(s— l)n— 1 



r_— 1 

 2 



— Ei 



)■ 



\ 2k / ^ \ 2k 



Or, puisque le nombre des progressions est k, la 

 somme 



p., -»- H.2 -»- 1^3 -+- . . . -t-v-^ 



exprimera le total des termes de la suite (5), non su- 

 périeurs à '^^•, cette somme sera donc jjrécisément 

 la valeur cherchée de l'exposant m, et on aura défi- 

 nitivement 



r—\\ " 



(s — l)a— 1\ 



7n 



s= k 



/ (s— l)a-t 



ik 





E 



2k 



! 2a- 



ou bien, en développant, 

 r— ]• 



~E{^- 



2k 



(H) 



E 



-^(-ï)-^ 



2k 



j 2a—\ \ 

 \ 2k I' 



{k — \)a- 



r— 1 



2k 



I 



(12) 



On observera d'ailleurs que, des trois éléments r, 

 a et k qui entrent dans cette formule, l'un quelconque 

 pourra être éliminé en vertu de l'équation (3). 



La valeur trouvée de m se rapporte au cas de 

 r > a, c'est-à-dire quand le nombre premier p est de 

 la forme 2an -+- a -h 2fc. Lorsque^ = 2an -*- a — 2k^ 

 et par conséquent r <«, la valeur do cet exposant, 

 comme nous allons le montrer, s'exprimera par la 



différence 



a — \ 



m, m étant déterminé par la même 



formule (12). Pour le faire voir, observons que la 

 question qu'il s'agit de résoudre revient à celle-ci: 



Le nombre total des solutions de ^inégalité 



-2k— 1 



j^ / \(a-*-2k) \ ^ a- 



g-l 

 ■ 2 



(13) 



a— 1 



pour les valeurs 1, 2, 3, . . . — ,— de X étant »«, trouver 

 le nombre m' des sohitions de Vinégalité 



P / X (a — 2k)\ ^ a — 2fc — 1 a — \ -, i\ k\ 



U\ ^ j^ 2 — "^ '^*- • • U'ij 



pour les mêmes valeurs de X. 



Pour parvenir à l'expression de m', nous commen- 

 cerons par démontrer l'équivalence 



-^\ 2k )■ ) 



^p^^))_Hiî(Ma^)_„ (15) 



Soit X la valeur inconnue de la somme de ces deux 

 restes; en les représentant, pour abréger, respective- 

 ment par JB, et R2, on aura 



R, = l{a-^2k)-aE(^^^) 



7^^ = X (« — 2/^) — «E (^^^^) , 

 et par conséquent 



x=2U — a\_E{-^^^)^-E[—^^—)\. 

 Mais on a aussi 



aE('J^)=l(a-*-2k)-R, 



aE('^^^) = l{a-2k) — R„ 



et par suite 



a ^E (^J^)) -,- E C-^^)] = 2Xfl - (R, -+- RÙ. 



Il faut donc que la somme R, -»- R2 soit divisible 

 par a; or, comme R^ et R2 sont deux résidus de a, et 

 que d'ailleurs aucun d'eux ne peut se réduire à zéro, 

 puisque az*z2k est premier à a, et que, de plus, X est 



