d05 



de» HicieikceM de ISaiiit» IVfersbuurg^. 



âOii 



tout-au-plus égal à '—-, il s'en suit que cette soiuine 

 Bi -»- R2 devra être égale à a ; on aura donc 



et, par suite, ^ ^ ^ 



ce qu'il s'agissait de démontrer. 



Cela établi, revenons à notre question. Représen- 



'^"^P^'" - ...(16) 



X)' 



'a—l 



la suite des restes -^f °2" " )' ^^^^^ ^'^^ restes 

 B (^ ^<"~^^') ), en vertu de la formule (15), sera 



a — r,, a- 



'Xv 



^a-1 (17) 



Faisons voir maintenant que si le résidu r-^^ de la 

 suite (16) satisfait à la condition (13), le reste cor- 

 respondant a — r^ dans la suite (17) ne satisfera pas 

 à la condition (14), et vice versa. En effet, puisque 



k, ou bien — 'x 2L ^'j 



^^ a — 1 



r. <- -^ — t- 



on aura 



« — /•• > rt — 



a — l 



■k: 



a — l 



couformcuient ù notre assertion. Ainsi, il est prouvé 

 que, pour p = 2an-i-a — 2k, le symbole (-) s'ex- 

 prime par la formule suivante 



\2an'->-a — 2kl ^ ^> 



«^(«•^l)-m 



d'où l'on conclut que la diflërence a — 1\ ne satisfait 

 pas à l'inégalité (14). 



On démontrera tout-à-fait de la même manière que, 

 lorsque la différence a — 7\' satisfait à la condition (14), 

 le reste correspondant r^ de la suite (16) ne satisfera 

 pas à l'inégalité (13). 



Cela posé, tout se réduit à démontrer qu'à tout 

 terme r/ de la suite (16) qui ne satisfait pas à la con- 

 dition (13), correspond dans la suite (17) le terme 

 a — >\> qui satisfait nécessairement à l'inégalité (14). 

 Or, on a par hypothèse 



a — 1 j ï 



ry^— — ^k-i-à, 

 S étant un entier non inférieur à 1 ; de là on obtient 



,.•(18) 



m étant déterminé, comme pour r > a, par| l'équation 

 (12). Mais on ne doit pas perdre de vue que quoique, 

 dans le cas actuel, on ait r = a — 2^, la valeur de k, 

 en employant la formule (12), doit être prise avec le 

 signe -+-. 



Tirons maintenant quelques conséquences des for- 

 mules précédentes. 



Si l'on combine, par voie de multiplication, la for- 

 mule (18) avec celle qui se rapporte au cas de r > o, 

 c.-à-d. avec la suivante: 



a — l 



fc^^b:il.)=(-l)^^ . ••••(19) 

 on obtiendra 



a — l, , ,. 



\2fon-a-1-2fc) (2an'-+-o-2fc/~ *> ''' " ( "* 



Les mêmes formules (19) et (18) conduisent immé- 

 diatement aux deux relations suivantes: 



a — l ,, 



— - — (n -i-n ) 



/ "L \( « \=(_i)- ..(21) 



rt — 1, , 



2an-^a-*-2k, 2an' -t- a -t- 2k , 2an"-t-a — 2k et 

 2an"' -+-a — 2k étant des nombres premiers. 



La supposition A; = '^^ dans la formule (12) con- 

 duit à la valeur suivante de m: 



a — l ' 



a — r,- = «■ 



a—l 



— k — 8 



a-l 



1 



a - l 



§. 



Cette valeur de a — r^, ne dépassant jamais —^ k, 



satisfera toujours à la condition (14), et comme le 

 nombre des différences que l'on obtient ainsi est vi- 

 siblement égal à "^ m, on aura 



' ""~^ ... 

 m = —2 '") 



j?i=l-^-2-+-3-4-... 



0—1 

 •> ■ 



Substituant cette valeur dans les équations (18) et 

 (19), on obtient ^_, 



(2-;^i) = ^-'^ 



(23) 



"■=^("-1) 



/ "- ,W(-l) ' (24) 



Soit encore k=\, et par conséquent r = a-f-2; la 

 formule (12) donnera simplement 



