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Uulletiii de l'/tcadéinie Impépiaie 



.30«i 



a— 1 



m, elle pourra, visible- 



quant à la différence 



ment, être mise sous la forme 



n — 1 „ "~1 7?/' 



On aura donc, en vertu des formules (18) et (19), 



-) = ^(V)- 



^2an'-+-a- 



{ 



2an~ 



-2)=(-l^ 



■E 





.(25) 

 (M) 



Lorsque le nombre premier donné p est inférieur 

 au double 2a de la base a, le quotient de la division 

 de p par 2a se réduit à zéro. On a donc dans cette 

 hypothèse p = r = a±2k;k,\ur conséquent, équi- 

 vaudra à la valeur numérique de ^-^^- Toutes les ex- 

 pressions du symbole (~\, précédemment trouvées, 

 seront également applicables à ce cas particulier en 

 y remplaçant par zéro les quotients w, n etc. 



Plusieurs des formules qui viennent d'être dédui- 

 tes, ont été données, sans démonstration, dans un de 

 mes derniers Mémoires *). Il contient aussi, entre au- 

 tres, l'énoncé de deux théorèmes sur les racines pri- 

 mitives des nombres premiers, dont la démonstration, 

 après ce qui vient d'être exposé, est très simple. Voici 

 ces deux théorèmes: 



ne pourra être satisfaite que par les valeurs sui- 

 vantes de x: 



1, 2, 



p-i 



et 



p-i 



y2an -4-^-:^). 



La première valeur .t=1 doit être rejetée par la 

 raison que a -*- \ <.p; la seconde, a; = 2, est exclue 

 par l'énoncé même du théorème; quant à la troisième, 

 x=:^^^, elle est inadmissible, parce que la con- 



Soient p = San -t- 2a — 1 et 



p-\ 



2an 



a— 1 



4 ■ 2 



deux nombres premiers; si la somme a^-t-l n'est pas 

 divisible par p, a sera une racine primitive de p. 



Soient p = San -*- a — 2 et 



2an 



a — 3 



4 • 4 



deux nombres premiers; si la somme a^ -+- 1 n'est pas 

 divisible par p, a sera une racine primitive de p. 



Pour démontrer la première proposition , nous fe- 

 rons usage de la formule (24). Nous observerons 



avant tout que, puisque 



— doit être un nombre im- 

 pair, on aura, nécessairement, a =: 4ii. -t- 3 ; la for- 

 mule (24) donnera donc 



De plus,^-j^ = 2an-i-^^^ étant, par hypothèse, un 

 nombre premier, la congruence ' 



a'' -I- 1 = (mod. ^J) 



*) Sur les congruences binômes exponentieUes etc. (Bulletin de 

 l'Acad. Imp. des Sciences de St.-Pétersbourg. Tome XIV.) 



a ^ — 1 (mod. j)) 

 entraînerait la suivante 



contrairement à ce que nous avons trouvé plus haut 

 en vertu de la formule (24). Donc a satisfait à la con- 

 dition caractéristique des racines primitives des nom- 

 bres premiers. 



On démontrera tout-à-fait de la même manière le 



second théorème en observant que '^-^ devant être 

 impair, le nombre a sera de la forme Six -+- 7 , et par 

 conséquent la formule (25) donnera 



1 



(4|jl-i-3)4m-«-.E( 



-1. 



/ = (_ l)2!Jt-<-l: 



Le reste de la démonstration ne diffère pas de ce 

 qui a été exposé à l'occasion de la proposition pré- 

 cédente. 



Quelques autres théorèmes, contenus dans le Mé- 

 moire cité ci -dessus, sont relatifs aux racines primi- 

 tives de la forme p — a; ils peuvent être traités tous 

 par l'analyse que nous allons présenter en démon- 

 trant le nouveau théorème que voici: 



et 



Théorème. Si p = 4aw -»- 4a — 1 

 ^-=^ = 2an -t-2a—l 



sont tous deux des nombres premiers, p — a sera une 

 racine primitive de p. 



Observons d'abord, qu'en mettant 2» sous la forme 



p = 2a(2nH- l)-i-2a — 1, 



et en se référant à la formule (24), dans laquelle n 

 devra être remplacé par 2n-+- 1, on obtiendra 



11^ , ^(2h-h2. 



1) ^ =-^1. 



-(J)=(- 



