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des Sciences de Saint •Pétersbourg. 



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Remarquons en outre que, puisque, par hypothèse, 

 ■^^-^ est uu nombre premier, et que a — \ <ip, i] 

 s'en suit nécessairement que la plus petite solution de 

 la congruence 



a"^! (mod. p) 



sera précisément a;=^-^. 



Cela établi, prenons pour base la différence p — a; 

 nous aurons 



Q) — «) ^ ^ — a ^ (mod. p), 

 et, par suite de la congruence 



a " ^ -+- 1 (mod. p) 



précédemment trouvée, il viendra 

 p-j. 

 (p — a) '" -1-1^0 (mod. p). 



Il est facile de s'assurer, de la manière ordinaire, qu'au- 

 cune puissance de j; — a, inférieure à ^-^ , ne peut 

 satisfaire à la dernière congruence. En effet, si l'on 

 admettait, par exemple, que 



(p — rt)''-*-1^0, ou bien dio" H- 1^0, 



V étant inférieur à ^-^ , il en résulterait que le reste 

 r, < V de la division de ^^ par v devrait aussi sa- 

 tisfaire à la condition 



a^'rt 1=0; 



on chercherait ensuite le reste r^ < r, de la division 

 de V par r,, et on obtiendrait 



ar'± 1=0, 



et ainsi de suite. On arriverait ainsi au résultat im- 

 possible 



a zt 1 ^ (mod. p). 



De ce qui vient d'être dit, on conclut que 



ip-a) 2 



est la plus petite puissance de p — a congrue à — 1 

 suivant le module p, ce qui est un caractère essentiel 

 des racines primitives. Donc p — a, sous les condi- 

 tions requises par l'énoncé du théorème, est une ra- 

 cine primitive du nombre premier p. 



Présentons encore quelques développements et quel- 

 ques exemples numériques relatifs aux formules géné- 

 rales exposées ci-dessus. 



Et d'abord, observons que si le nombre premier 

 p= 2an-i-r est tel, que le reste r s'écarte peu, en 

 plus ou en moins, de ses valeurs moyennes a — 2 et 

 0-4-2, ou, ce qui revient au môme, si k est un nombre 

 de médiocre grandeur, alors le symbole (") se cal- 

 cule facilement au moyen des formules (12), (18) et 

 (19). Déterminons, par exemple, la valeur de (571^); 

 on aura 



^ = 5791 =2. 643. 4 -H 647 = 2. 043.4-4-643- 2. 2, 

 o=643, w = 4, r=047, ^^ = 323, fe = 2, 

 et la formule (12) donnera 



m 



=£(?)*£('f)l 



80-^241-160 = 1 (mod. 2). 



Donc, en vertu de la formule (19), et en observant 

 que la valeur de n dans le cas actuel est paire, on aura 



V5791/ 



La détermination de la valeur du symbole l-A se 

 simplifie considérablement, lorsque le nombre premier 

 p est de la forme 



p = A-t-2'' .a,' 



a étant un nombre impair de médiocre grandeur; en 

 effet, on trouve dans cette hypothèse 



A=p—2\a, 



et par suite 



;,-i 



(^)=<-»^(|/(l)=<-') 



'-^-^m 



(!)• 



Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver 

 la valeur du symbole (^); comme l'on a dans ce cas 



p= 1847, ^=951, 



et que d'ailleurs 



951 = 1847 — 2'. 7, 



d'où V = 7 , a = 7 , la formule ci-dessus donnera 



