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Bulletin de l'/tcadémie Impériale 



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\ 1847 ./ ^ ' 



923- 



■-(T) / ' 



.W-(: 



V1847/ V 1*547 j' 



Pour déterminer la valeur de fj^j^] mettons le nombre 

 premier 1847 sous la forme 



1847 = 2.7.131-t-13 = 2.7.131-i-7-*-2.3; 

 nous aurons 



a = 7, n=131, >• = 13 ^ 7 -h 2 . 3, Â;=3, 

 et la formule (19) donnera 



\1847/ ^ ' 



.131 



= -(-1)" 



Enfin, substituant kr, a cik leurs valeurs dans l'ex- 

 pression (12), on obtiendra 



i\2\ -n/lS-, . T7/20\ 



= 3 = 1 (mod. 2). 



Donc (1^47) = -4- 1 , et par conséquent 



/ 951 \ _ , 

 iï847/- — ^• 



Plus généralement, pour abréger le calcul du sym- 

 bole (-), A et 2) étant de grands nombres, on cher- 

 chera à les lier par une relation de la forme 

 hA = cp±2\ aa'd' . . . 



telle que les entiers b, a, a, a" ... . soient aussi pe- 

 tits que possible. Et en effet, cette dernière égalité 

 donnant 



(p)'^lx) Vi^) \pl G) V^)""' 

 il est visible qne le calcul du second membre de cette 

 formule sera d'autant plus simple, que les nombres 

 &, a, a' a" ... . seront plus petits. 



Prenons un exemple numérique: soit proposé de 

 trouver la valeur du symbole (gggg), dans lequel les 

 nombres ^ = 2633 et p = 59S9 sont tous deux pre- 

 miers. 



Un petit nombre d'essais conduira à l'égalité 



3.2638 = 5939 

 qui donne de suite 



/2633\ /_^\^ ( _1 



V5939J "" \5939/ \5939 



2^5.7^ 



j V5939J 



= IJ^] (J^\ (_M 

 ^5039i V5939/ V5939r 



/ 7 \a 

 \5939j 



Or, on a en général*) 



?-f) 



donc, dans le cas actuel, nous aurons 



r-î^) 



m): 



\5939/ 



/0940 



= f-n^^^ 



■ £( 



5940 \ 

 6 j 



,/5941 , 



(-1) 



1485-1- 990 -f- 1188 



— 1. 



Il est presque superflu de dire que quand la base 

 A dans le symbole l — \ est 2>aire, c.-à-d. que l'on a 

 ^ = 2\a, a étant impair, on réduira de suite ce cas 

 à celui d'une base impaire à l'aide de la formule, 



E 



p+i . 



Ct 



(?)=r-~")=(r)(i)=(-'» '"(?)• 



L'expression du symbole (-), par des fonctions nu- 

 mériques , autant que je le sache , n'a été donnée 

 jusqu'à- présent qi;e par Gauss; celle que je déduis 

 dans cet article diffère essentiellement de la sienne par 

 sa forme. Les nombres auxiliaires a, n, r etk qui sont 

 introduits dans les formules exposées plus haut, abrè- 

 gent, dans beaucoup de cas, les calculs numériques 

 qu'exige la détermination de la valeur du symbole en 

 question. En outre, ces mêmes formules fournissent 

 des procédés simples pour établir plusieurs proposi- 

 tions nouvelles relatives à la théorie des résidus et 

 aux racines primitives des nombres ])remiers. 



En terminant, je crois devoir avertir que, par uue 

 analyse semblable à celle qui a servi à établir les for- 

 mules (1) et (12), on peut parvenir à plusieurs résul- 

 tats nouveaux concernant la valeur d'un certain sym- 

 bole, analogue à celui de Legendre, mais relatif à 

 un module composé. Le symbole que j'entends diffère 

 également de celui de Jacobi, quoique, tous deux, 

 se rapportent à des modules non premiers. Je compte 

 exposer mes recherches snr ce sujet dans une autre 

 occasion. 



•) Voyez mon Mémoire : Sur les congriiences binômes exponen- 

 etc. (Bull, de l'Acad. des Sciences cie St. -Pétersb., T. XIV, 

 pages 369 et 379). 



