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des Science!* de Saint •Pëfersbonrs. 



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rôle important dans la Tliéorio des nombres de cette 

 loi dont, tour-à-tour, se sont occupés Zcj/ewf/re, Gauss, 

 Jacvhi, Lejeunt Dirichht, Kioumer, une nouvelle dé- 

 monstration de cette proposition remarquable ne sera 

 pas dépourvue d'intérêt. L'analyse qne j'ai employée 

 pour y parvenir est d'autant plus simple, qu'elle est 

 indépendante de toute doctrine auxiliaire. J'ajouterai 

 encore à cela (lue le point de vue sous lequel j'ai en- 

 visagé la question, m'a mis à même d'établir plusieurs 

 propositions nouvelles relatives à la théorie des ré- 

 sidus, propositions que j'exposerai dans un autre ar- 

 ticle. Pour le moment, ayant presque exclusivement 

 en vue la loi de réciprocité, je ne rapporterai que le 

 théorème suivant, qui servira de point de départ pour 

 la démonstration: 



Théorème. Soient a et r deux entiers impairs, premiers 

 entreux; le nombre a est supposé dontié et r astreint 

 seulement à rester compris entre les limites 1 et 2a — 1 

 inclusivement. Cela posé, en dési/jnant par p un nombre 

 premier absolu quelconque (2 excepté), mis sous la forme 

 !> = 2a)> -+- >•, 



-1 

 — li- 



on aura toujours 



a ^ z^{ — 1) ^ (mod. ij), 



o-M bien, en faisant usage du sijmhole connu, 



a—\ 



— , — n -+■ m 



- (!)='-'> ^ .■•■■ 



Vexposant m étant indépendant de n. 



(1) 



9 



an 



r— 1 



Commenc^'ons par distribuer les 

 nombres de la suite 



1, 2, ;3,...^-rLi = ««_H'l=i (2) 



en a groupes tels, que chacun d'eux ne renferme que 

 des nombres congrus entr'eux suivant le module a; 

 nous aurons de cette manière les a groupes suivants, 

 qui épuisent la série (2): 

 1, 1-t-rt, 1 -»- 2«, . . . . l-t-(« — l)rt, !-+-«« 



2 2 



■2-i-in— l)a, 



na 



r— Ir— 1 r—l , r—1 , ,, r— 1 



^-, -^->-a, ^-.-2rt,....^— +-(«-!)«, ■^^-*-na 



r + l r-t-l )■ + ! n '■-'-1 / i\ 



-^, -2-H-r<, :^-t-2a, ...-^--^{n-Da 



rt— 1, a—l-t-a, a— lH-2«,....rt— l-f-(«— l)rt 



a, 



(3) 



a, 



ofl. 



na. 



Observons, avant tout, que chacun des ^~~ pre- 

 miers groupes contient n -i- ] éléments, tandis que 

 chacun des a — ^-^ restants n'en contient qu'un 

 nombre n. De cette manière on aura « progressions 

 arithmétiques croissantes (3), toutes à différences 

 égales à a, vt dont les premiers termes seront re- 

 spectivement 



1 



a. 



Faisons voir actuellement que ces a premiers termes, 

 indépendamment de leur ordre de succession, peuvent 

 être remplacés par les a nombres de la série 



0, 



. ra-\, a — r^, a- 



_ 2 • • • • " — ^a-1, 



2 ~2~ 



le terme général /•• désignant le reste de la division 

 de À/- par a, et À n'admettant que des valeurs non 

 supérieures à '^. Pour établir cette propriété il suf- 

 fira de montrer qu'il ne peut y avoir deux termes 

 égaux dans cette dernière série. L'impossibilité d'une 

 telle égalité est manifeste: en effet, en représentant 

 par q.^ le quotient de la division de ).>• par a, on aura 



r,= \r. 



si donc on supposait r 



', on devrait avoir 



ou bien 



-Kr — aqy^l'r—nq.', 

 l'A'— 'ix>« = i^' — ^)'"' 



égalité évidemment impossible à cause de r premier 

 à a et de X et X' non supérieurs à "^. 



La supposition 



■/-.=«■ 



ne différant pas de la précédente, il n'y a pas lieu de 

 s'y arrêter. 



ï]nfin, l'hypothèse 



r^^a~r^ 

 donne lieu à la relation 



Xr — aq^=^ a — XV -i- a«/;' 

 qui revient à cette autre 



(ç. -+- 7^' -4- -l)a — (k-t-l')r, 



également inadmissible par la raison que la somme 

 X-t-X' est inférieure à a, tandis que a est premier à r. 

 Représentons, pour abréger, par la notation [r-^, a\ 

 la totalité des éléments du groupe 



r. 



«, A 



2a. 



Tome XIV. 



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