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Uiilletiii de rAcadëinie Impériale 



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uient a de ce point sera du à la résultante F des t'orcos 

 R et R' transportées en B, et il est évident que F ne 

 doit pa§ êti-e perpendiculaire à a pour que ce dépla- 

 cement ait lieu. Faisons maintenant varier Tune des 

 deux forces Pet T^ ou toutes les deux, sans rien chan- 

 ger dans les liaisons des points A^ A', B, de manière 

 que /''devienne perpendiculaire à a; nous aurons alors 



Fcos {Fa) C7 = ou R cos {Ra) a -i~ R' ces {R'a) a = 



eu égard à ce que F est la résultante de R et R', et en 

 vertu de l'invariabilité des distances AB et A'B: 



a cos {Ra) = s cos (ii's), a cos {R'a) = .s' cos (TîV), 



ce qui réduit l'équation précédente à 



7?.s cos {Rs) -+- R's cos (R's') = (2). 



La force /' étant la résultante de R et (J qui est per- 

 pendiculaire à .s, les projections de P et R sur ,s doi- 

 vent être égales; par conséquent 



R cos {Rs) =-- Pcos {Ps) = 'JlP; 



par la même raison 



R! cos {Ris') = P' cos (7V) = rfc P, 



et l'équation (2) devient 



±Ps±PV=0. 



Comme les deux tei'mes du premier membre ne peu- 

 vent avoir le même signe, on doit faire l'une des deux 

 suppositions 



Ps — P's'=0, 



Ps -+- P's' 



0, 



c.-à.-d. que si P et s ont le même sens, P' et s sont 

 opposées, et si P et s sont opposés P' et s ont le même 

 sens. Eu égard à ce qui a était démontré plus haut re- 

 lativement aux directions de s et s', on doit conclure 

 que Pet P' doivent être dirigées toutes les deux dans le 

 sens des paramètres N et N' ou toutes les deux en 

 sens contraire. Enfin, en vertu des équations 



Ps = P's' et Ns ^ N's 

 on trouve 



P:P' = N:N'. 

 Ainsi, pour que deux forces P et P appliquées aux 

 points ^ et ^-f' ne puissent les déplacer, quand les auties 

 points du système sont fixes, il faut que ces forces soient 

 dirigées suivant les paramètres respectifs N et N', 

 toutes les deux dans l'un ou l'autre sens de ces droites, 

 et qu'elles soient proportionnelles aux longueurs de 

 ces paramètres. On démontrera de même que les for- 



ces P et P" doivent être dirigées suivant N et N". 

 toutes les deux dans le sens de ces droites ou en sens 

 contraire, et leur rapport égal à celui de N et iV"; 

 ainsi de suite pour toutes les forces P, P', P" . . . . qui 

 sont en équilibre avec les résistances des liaisons. 



Les projections des forces P et P' sur les axes des 

 coordonnées doivent avoir le même rapport que les pro- 

 jections respectives de N et N', c.-à.-d. 



(IL . (IL 



dx ' dx ^ 



X : X' = 



Y -.Y 



dL _dL 7 . y' '^^■' . '^^ . 



dy ' dy"' '' ' 



dz ' dz ' 



cela revient à poser dans les formules {?>) du mémoire 

 de Cauchy \ = À'. 



Le principe d'équilibre que nous avons énoncé au 

 commencement de cette note peut encore être exprimé 

 en ces termes: «Pour que des forces appliquées à un 

 «système de points assujettis à des liaisons qui doiuient 

 «une seule équation L = entre les coordonnées, soient 

 «en équilibre avec les résistances qui proviennent des 

 «liaisons, il faut que ces forces soient dirigées respec- 

 «tivement suivant les paramètres différentiels du pre- 

 «mier ordre de la fonction L relatifs à chaque point 

 «du système, toutes dans le sens de ces paramètres, ou 

 «toutes en sens contraire, et que les valeurs des for- 

 «ces soient proportionnelles aux grandeurs de ces pa- 

 «ramètres». 



Si la condition des déplacements virtuels était don- 

 née non par l'équation seule Z(:=0, mais par l'inégalité 

 L> réunie avec l'équation L = 0, c.-à.-d. par L>0, 

 les forces P, P, P", . . . . , comme il est facile de voir, 

 devraient être opposées aux paramètres respectifs: 

 i\^, iV', K\ ■ 



La nécessité d'exprimer les conditions des dépla- 

 cements virtuels par des inégalités a été signalée en 

 1827 par Cournot {Bulletin des sciences mathémati- 

 ques etc. rcd. par le baron de Fernssac, T. 8). Ensuite 

 Ostrogradsky , dans ses divers écrits sur la méca- 

 nique, a constamment insisté sur cette nécessité et a dé- 

 veloppé les généralisations dans la théorie de l'équi- 

 libre et du mouvement qui sont les conséquences de 

 ce mode d'exprimer les conditions des déplacements 

 virtuels. Mais, jusqu'à présent, la plupart des auteurs 

 de cours de mécanique se contentent d'exprimer ces 

 conditions par des équations, ce qu'on doit attribuer 

 au non-vouloir ou à une routine commune, qui retient 

 si souvent la propagation de nouvelles idées. 



