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Bulletin de l'/lcad^niic' lni|(ërialc' 



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X' qui 



une dômoustratioij particulière de l'égalité X 

 ne dérive pas de l'équation (13). 



Voici maintenant une liaison qui présente le second 

 des cas que nous avons mentionnés: concevons un fil 

 OAA' attaché par un bout à un point fixe et por- 

 tant un anneau mobile A, auquel est appliquée une 

 force P, qui est en équilibre avec une force P' appli- 

 quée à l'autre bout du fil A'. On aura ainsi un système 

 de deux points vl, A', assujettis à la condition que la 

 somme des distances OA et AA ne peut pas varier, 

 c.-à.-d. à la condition 



L^OA-t- AA' = 



y^^^y'^s^ ^ y{x-xy 



liTVf- 



■{z — z)- = const. 



le point fixe étant pris pour origine dos coordon- 

 nées. On n'a pas besoin de considérer les dérivées 

 partielles de la fonction L par rapport aux coordon- 

 nées pour déterminer les directions de N et N' ; ces 

 directions se déterminent de la manière suivante. La 

 direction de N est normale à la surface sur laquelle 

 doit rester l'anneau A, quand l'extrémité du fil A est 

 fixe; or, comme cette surface est un ellipsoïde dont 

 les foyers sont en et A, N sera la bissectrice 

 de l'angle OAA. La direction de N' est normale à la 

 surface sur laquelle doit rester le point A, quand A 

 est fixe; cette surface est une sphère dont A est le 

 centre et AA le rayon; par conséquent N' est di- 

 rigée suivant ce rayon. Il est évident que 1»b droites 

 N et N', ainsi que les forces P et P', sont dans un 

 même plan avec AA et que la résultante R ne peut 

 être nulle et ne peut non plus être dirigée suivant 

 AA. D'ailleurs les tangentes aux courbes que peuvent 

 décrire les points A et A', quand leur distance AA 

 reste invariable et le milieu de cette droite est fixe, 

 seront nécessairement perpendiculaires aux forces P 

 et P'; par conséquent les composantes des forces P 

 et P' sur ces tangentes seront encore nulles. 



C'est à Lagrange qu'est due la première démon- 

 stration des équations générales de l'équilibre non dé- 

 duite du principe des vitesses virtuelles. Dans le V""" 

 chapiti'e de la Théorie analytique des fonctions, 2""" 

 édition (1813), il démontre le principe que nous avons 

 énoncé au commencement de cette note. Pour prouver 

 l'égalité des rapports entre les projections de deux for- 

 ces sur un des axes de coordonnées et les dérivées par- 

 tielles respectives de la fonction qui doit être nulle en 



vertu des liaisons, il se sert d'un système de poulies 

 ou moufles, analogues à ceux qui figurent dans sa dé- 

 monstration du principe des vitesses virtuelles. Sa dé- 

 monstration n'a pas le défaut de celle de Cauchy, et 

 le seul incovénient qu'elle présente est la nécessité de 

 considérer un nombre infini de poulies ou de cordons, 

 quand les forces sont incommensurables. Poinsot a 

 donné aussi une démonstration directe des équations 

 générales de l'équilibre, fondée sur cette propriété 

 de l'équilibre des forces appliquées à un système libre, 

 qu'elles sont capables d'être décomposées en forces 

 égales et opposées suivant les droites qui joignent les 

 points d'application. Cette démonstration parait être la 

 plus rationnelle, car elle n'admet aucun mécanisme 

 particulier, excepté des tiges rigides; mais elle présente 

 quelques difficultés dans le passage du cas particulier, 

 nommément de celui où l'équation de condition qui 

 provient des liaisons contient seulement les distances 

 mutuelles des points, au cas général c.-à-d. à celui 

 quand l'équation contient: les coordonnées des points 

 d'une manière quelconque. 



On peut encore obtenir une démonstration rigou- 

 reuse et très simple, en substituant aux moufles de 

 Lagrange ou au levier à bras égaux qui figure dans 

 celle de Cauchy, une articulation formée de deux 

 tiges rigides, dont Ampère s'est servi dans sa démon- 

 stration du principe des vitesses virtuelles. 



Nous pensmis qu'il y aura quelque intérêt à con- 

 naître cette démonstration. 



Soit un système de points A, A, A", . . . assujettis à 

 des liaisons qui exigent qu'une seule fonction des coor- 

 données de ces points soit nulle pour tout déplacement 

 virtuel du système. En supposant que les points sont 

 rapportés à un système rectangulaire d'axes de coor- 

 données, et que les coordonnées respectives des points 

 A, A, A". . . sont 



{x, y, z), {x', y', s'), 



désignons par N, N', N" . . . . les paramètres difiëren- 

 tiels du premier ordie de la fonction L par rapport 

 à chaque point, et représentons-les par des droites me- 

 nées à partir des points A, A, A" . . . . , comme nous 

 l'avons montré plus haut. Cela posé soient P, P*, P" . . . . 

 des forces appliquées à ces points et en équilibre avec 

 les résistances qui proviennent des liaisons. L'équilibre 

 ne sera pas troublé, si l'on rend tous les points, excepté 



