3Sâ 



des Sciences «le Saint - P(^<ershoiir|i. 



3S6 



dL 



<IL 





dij •' dz 



« Donc par suite on aura géiiéralcmeut 



«on trouve de même X = X", X =: X'", etc. ...» 

 Pour qu'il soit permis de coiiclure l'égalité 



X = X' 



il faut que les valeurs multipliées par X et X' dans 

 réqutition (13) ne soient pas nulles. Or cela n'a pas 

 toujouis lieu, car il peut arriver que les composantes 

 des forces l\ 1'' suivant les tangentes aux courbes 

 que peuvent décrire les points A, A soient nulles, et 

 dans ce cas 



dL , ,^ dL 



dL j dL j 



dL 



dL 



'dz 



d.v = 



d^-"- -- dv -'J ^ riJ^^ = '^^ d^''^'' -*- d^J ^i) 



ce qui l'édnit l'équation ( 1 3) à l'identité 



X.O=X'.0 



qui a lieu quels que soient X et X'. Le cas que nous 

 venons de signaler se présente etiectivement jxjur plu- 

 sieurs liaisons, et nous en donnerons des exemples. 



D'ailleurs il est facile de s'assui'er que ces cas sont 

 possibles en déterminant les directions des tangentes 

 aux courbes que doivent décrire les points A^ A', quand 

 ils sont assujettis aux conditions (9) et (10). Soit N 

 une droite de longueur et de direction déterminée, 

 dont lorigine est en A et dont les projections sur les 

 axes des coordonnées sont les dérivées partielles: 



dL dL dL 

 dx ' dy ' dz' 



Cette droite est ce que M. Lamé a nommé paramètre 

 différeidiel du premier ordre de L, considéré seule- 

 ment comme fonction des coordonnées du iioint A. 

 Soit de même N' une droite dont l'origine est en A' 

 et les projections sur les axes 



dL dL dL 



dx' ' dy ^ dz" 



Désignons par s la direction du déplacement que 

 pourra recevoir le point ^^1, quand il est assujetti avec 

 A' aux conditions (9) et (10). Le déplacement du point 

 A' étant égal et contraire à celui de .1, l'équation 



dL 



dL 



dx dy ■' 



se réduira à 



iVcos(iV6J 



Tome XIY. 



dL 7 dL J I 



-,- dz -+- J-, dx - 



dz dx 



dL 1 I 



dTj'^y ■ 



dL 



dz 



>f//=0 



iV'cos(iV's)=.o (a) 



Menons maintenant à partir de .1 une droite N^ égale, 

 parallèle, de sens contraire à N\ et construisons la 

 résultante li de N et iV, c.-à.-d. la diagonale d'un pa- 

 rallélogramme construit sur iV et iY,; nous aurons en 

 vertu de l'équation (a) 



^ ces (&) = iV cos (iVs) -H iV, CCS (iV^.s) = 

 iVcos {Ns) — N' cos {N's) = 0. 



Ceci fait voir que la direction de s c.-à -d. de la tan- 

 gente à la courbe que peut décrire le point A doit 

 être perpendiculaire à R, chaque fois que B n'est pas 

 nulle; mais comme elle doit être aussi perpeudiiulaire 

 <à AA', sa direction sera déterminée par la condition 

 d'être perpeudiculaire au plan mené par AA' et par 

 R, toutes les fois que R n'est pas dirigée suivant A A'. 

 La direction de s sera peri)endiculaire à N et N' 

 dans les deux cas particuliers: 1) quand N et N' sont 

 dirigées suivant AA', 2) quand les deux droites N et 

 N' étant dans un même plan avec AA', la résultante 

 R n'est pas nulle et a une direction diftérente de AA. 

 Dans ces deux cas les forces P et P' en vertu des équa- 

 tions (o) étant dirigées suivant les droites N et N', 

 seront évidemment ])eipendi(ulaires à s, et par con- 

 séquent leurs composantes suivant les tangentes aux 

 courbes que peuvent décrire les points A, A', seront 

 nulles; on aura alors 



dL 



dx ■ 



dL J 



dy'^y 



dL 7 „ dL J dL 7 dL 7 « 



dz = , ,— , dx -H J , dii ■+■ J-, dz = 



' dx dy '' dz 



dx "'^ ' dy ' ' ■^ ' dz "" " ' dx ""^ ' dy 



ce qui réduit l'équation (13) à l'identité 



X.O = X'.0. 



Un système de points .-1, A', liés invariablement, 

 présente le premier des deux cas que nous venons de 

 signaler. En effet si 



L = {x — x'f -+- [y — i/f -t-{z — z'f = const. 

 on a 



par conséquent iVetiV sont égaux et de sens contraires; 

 d'ailleurs ils sont dirigés suivant AA' . Si l'on lixc le 

 milieu de cette dernière droite, les points A et Â 

 seront assujettis à décrire des courbes, dont les tan- 

 gentes en A et A seront perpendiculaires à N et N'', 

 les composantes des forces P et Z*' suivant ces tan- 

 gente seront nulles. Mais pour ce cas Cauchy donne 



23 



