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Bulletin de l'ytcadémie Impériale 



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« Supposons maintenant, que dans le cas où les points 

 «Â, A restent seuls mobiles, la liaison 



L=0 (8) 



«n'oblige plus ces deux points à rester constamment à 

 «la même distance l'un de l'autre. On pourra joindre 

 «à la liaison L= 0, celles qu'on établit entre les deux 

 «points, en les unissant par une droite invariable, et 

 «fixant le milieu de cette droite. Cela posé, si l'on dé- 

 «signe par a, 6, c les coordonnées du point milieu, et 

 «par J) la longueur de la droite, on aura entre les six 

 «variables a;, y^ 2, x, y', s les cinq équations 



■x' — 2a, y-*- y ==21, z-v-z' 



X 



{x — x')' 

 «dont la dernière peut être remplacée par la suivante: 



= 2c 



4 



.(9) 



(^a-xf -^{h — yf -^{c — zf = 



D^ 



.(10) 



«En vertu des cinq équations (9), les positions des 

 «points A, A ne seront pas complètement détermi- 

 «nées; mais ils pourront décrire deux courbes corres- 

 « pondantes tracées sur la surface d'une même sphère, 

 «de manière à se trouver toujours situés aux extré- 

 «mités d'un même diamètre. Dans ces courbes, les 

 «cordes correspondantes, et par suite les tangentes me- 

 «nées par des points correspondants seront évidemment 

 «parallèles. Si l'on suppose 



L=^f{x,y,z,x',y',2', ), 



«la courbe décrite par le point A en particulier sera 

 «déterminée par le système des deux équations 



f{x,y, z, 2a — X, 2b — y, 2c — z,..)^ Oj 



B^ }(H) 



«dont le milieu est fixe, et que les tangentes menées 

 «par ces points aux courbes qu'ils peuvent décrire 

 «sont parallèles, il est clair que les forces dirigées 

 «suivant ces tangentes, pour maintenir en équilibre 

 «les points A, A, devront être égales et agir dans 

 «le même sens; ce qui exige que les forces P et P', 

 «respectivement multipliées par les cosinus des angles 

 «que forment leurs directions avec la direction de 

 «l'une des tangentes prolongée dans un sens déter- 

 «miné, fournissent des produits égaux et de même 

 «signe. Or la tangente à la courbe que peut décrire 

 «le point A, prolongée dans un certain sens, forme 

 «avec les axes des angles qui ont pour cosinus 



dx dy dz 



Y {dx^ -t- dy'i -*- dz"^) ' V {dx"^ -*- dy'^ -+- dz'^) ^ V {dx''- -i- dy^ h- dz^y 



«tandis que les cosinus des angles formés avec les 

 «mêmes axes par les directions des forces P, P' sont 

 «respectivement 



fa-x)'-^(h-y)'-^(c-zf=^. 



r 



«De plus, si l'on décompose la force P en deux autres, 

 «l'une perpendiculaire à la courbe que peut décrire 

 «le point A, l'autre dirigée suivant la tangente à cette 

 «courbe, la force perpendiculaire étant incapable de 

 «produire aucun effet, on pourra en faire abstraction 

 «et ne considérer que la force dirigée suivant la tan- 

 «gente. On pourra de même remplacer la force P' par 

 «sa composante suivant la tangente à la courbe que 

 «peut décrire le point A. Cela posé, comme les points 

 «^, A sont situés à l'extrémité d'une droite invariable 



«Par suite les cosinus des angles compris entre la di- 

 «rection de la tangente et celles des forces P, P' se- 

 «ront respectivement égaux, le premier à 



Xdx -H Ydy -t-'zdz 



«et le second à 



PV {dx^ -t- dy^ -+- dz') 



X'dz -+- T'dy -*- Z'dz 



PV(dx'-i-dy'^-i-dz'y 



«En multipliant le premier par la force P, le second 

 «par la force P', et égalant les produits, on trouve 



Xdx ■+■ Ydy -4- Zdz X'dx h- Y'dy -+- Z'dz 



■ dy'^ ■+- dz'^) 



■Z'dz. 



(H) 



V [dx"^ -H dî/* -+- dz') V(dz' - 



«ou, ce qui revient au même, 



Xdx -t- Ydy -4- Zdz = X'dx -*- Y'dy ■ 



«Si dans cette dernière équation on remet pour X, 

 « F, Z, X', Y', Z' leurs valeurs tirées des formules (3), 

 «elle deviendra 



dL 



dx """ ' dy ""^ ' dz 

 dL 



XJ^r dx 



n 



dx 



dx 



dz^^ 



dL 7 dL 7 ) 



^dy-^^dz\. 



(13) 



«D'ailleurs, en différenciant la première des équa- 

 «tions (11) on en conclut 



