381 



des Stciences de Saint -Pc^terabourg-. 



3«« 



Les deux valeurs moyenues de r, c'est-à-dire t = 

 a — 2 et r = c-i-2, donnent lieu aux expressions 

 suivantes : 



\2an 



\2an 



»-(i — 2/ ^ 



, a — 1 



Soient encore p et p des nombres premiers, tous 

 deux de la forme 2a>i-t-r, en sorte que 



p = 2an •+- r et 2/ 

 on aura la relation suivante: 



— 



Jan 



Nous ne multiplierons pas pour le moment ces for- 

 mules dont on peut déduire un grand nombre de théo- 

 rèmes; en voici deux exemples: 



Soient p == San 



-+- 2« — 1 et 



p-i 



■= 2an- 



deux nombres premiers; si la somme a^ -t- l n^est pas 

 divisible par p, a sera une racine primitive de p. 



Soient p = San -t- a — 2 et ^^^ = 2an -+- "-^ 

 deux nombres premiers; si la somme a^ -t-\ West pas 

 divisible par p, a sera une racine primitive de p. 



Note relative à une démonstration donnée par 

 Caucliy des équations générales de l'équilibre, 

 par J. Somoff. (Lu le 21 octobre 1869.) 



Cauchy adonné, en 1827, dans le 2™e volume do 

 ses Exercices mathématiques, une démonstration di- 

 recte des équations générales de l'équilibre, c.-à.-d. 

 une démonstration qui n'est pas déduite du principe 

 des vitesses virtuelles. Elle paraissait à l'auteur digne 

 de fixer un moment l'attention des géomètres à cause 

 de sa simplicité; néanmoins on la rencontre très ra- 

 rement dans les traités de mécanique. Elle est repro- 

 duite maintenant dans les leçons de mécanique analy- 

 tique de M. l'abbé Moigno, rédigées principalement 

 d'après les méthodes d'Augustin Cauchy et étendues 

 aux travaux les plus récents; elle se trouve dans la 

 première partie, la Statique, publiée en 1868. 



li'auteur de ces leçons considère la théorie de l'é- 

 quilibre de Cauchy comme un des chefs-d'oeuvres 

 du grand géomètre et la recommande d'autant plus à 



l'attention de ses lecteurs «qu'on tend à lui substituer 

 «d'autres théories qui'n'ont ni la même généralité ni 

 «la même rigueur». Reconnaissant la juste estime due 

 aux oeuvres de Cauchy, qui ont enrichi l'analyse et 

 ses divers applications des plus grandes découvertes, 

 je me permets d'être d'une opinion contraire à celle 

 de M. Moigno par rapport à la théorie de l'équilibre 

 dont il s'agit, et de faire voir que cette théorie n'est 

 pas satisfaisante. 



Le principe fondamental que Cauchy se propose 

 de démontrer peut être énoncé ainsi: pour qu'il ait 

 équilibre entre des forces appliquées à un système de 

 points matériels et les résistances qui proviennent des 

 liaisons, auxquelles ses points sont assujettis, dans le 

 cas où une seule fonction des coordonnées doit être 

 nulle en vertu des liaisons pour tous les déplacements 

 virtuels du système, il faut: 1) que les projections des 

 forces sur les axes des coordonnées rectangulaires, 

 auxquels on rapporte les points, soient proportionnelles 

 aux dérivées partielles de cette fonction prises relati- 

 vement aux coordonnées respectives, et 2) que le rap- 

 port de chaque projection à la dérivée respective soit 

 le même pour toutes les forces. Or, la démonstration 

 que donne Cauchy de cette seconde proposition est 

 en défaut, parce que l'équation de laquelle il tire 

 l'égalité de rapports des projections de deux forces 

 aux dérivées respectives devient dans plusieurs cas 

 illusoire. 



Supposant que les coordonnées rectangulaires 

 {x, y, z), {x, y , z',).... d'un système de points matériels 

 A, Â,. . . . sont liées par une seule équation L=0 

 et que ces points sont sollicités par des forces P, P, 

 p",. . . dont les projections sur les axes des coordon- 

 nées sont respectivement {X, Y, Z), {X' , Y', Z"). . ., 

 Cauchy prouve, comme on l'avait déjà fait avant lui, 

 que dans le cas d'équilibre on a 



^Ë'Y^ 



dy ' 



x'=x' 



dL 

 dx'^ 



Y'-- 



dL) 

 di/'^ 



dz i 



(3) 



et se propose ensuite de démontrer l'égalité des mul- 

 tiplicateurs l, X', X". . . Après avoir démontré cette 

 égalité pour le cas particulier de L = qui exprime 

 l'invariabilité de deux points A et J', il expose une dé- 

 monstration générale en s'exprimant ainsi: 



