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Bulletin de l'/tcadt^inie Impériale 



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En représentant par j) un nombre premier, nous 

 trouvons cette expression pour le symbole (^) 



(i)=(-,)^-('-n 



De cette formule on déduit très facilement les pro- 

 positions suivantes: 



Si les nombres p =: 20n -t- 3 et 



= lOw-i- 1 



sont tous deux premiers , 5 sera une racine primitive 

 de p. 



Si les nombres p = 20n -t- 7 et 



= lOw-t- 3 



sont tous deux premiers, 5 sera une racine primitive 

 de p. 



Les nombres p = 40w -+- 13 et 



p-i 



lOn 



étant tous deux premiers, et n supérieur à zéro, 5 sera 

 une racine primitive de p. 



Les deux nombres p = 40w -i- 3 7 et 



p-i 



lOn- 



étant premiers , p aura 5 pour une de ses racines pri- 

 mitives. 



Ces deux derniers théorèmes sont des corollaires 

 de deux propositions plus générales. 



Si p — 20w -4- 19 ei ^-^ = lOn -h 9 sont des 

 nombres premiers, -p aura pour une de ses racines pri- 

 mitives la différence p — 5. 



La considération de la base composée 6 donne lieu, 

 entre autres, au résultat suivant: 



(i)=(_lf(^-^). 



nombres premiers qui ont 10 et^ — 10 pour racines 

 piimitives. Nous rapportons quelques - unes de ces 

 propositions, formulées dans le tableau ci -dessous, 

 dans lequel, pour abréger, nous avons représenté par 

 q un nombre premier. 



Comme conséquences de cette formule, on peut citer 

 les deux théorèmes que voici: 



Si p = 24n -i-U et ^^ = 12w -4- 5 sont tous 

 deux premiers, 6 sera une racine primitive de p. 



Si p = 24m -4- 23 et ^^ = 12n -4- 11 sont torts 

 deux premiers , p aura pour une de ses racines- primi- 

 tives la différence p — 6. 



Pour la base 10 on a, en vertu des formules 



(?) = (-lf'('^) et (i)=(-l)^('^) 

 l'expression suivante: 



(?) = (f)(f) = (-')"*'^'*^''-^''- 



En se fondant sur cette valeur du symbole (77)) on 

 est de suite conduit à plusieurs théorèmes relatifs aux 



Après les diiïérents exemples que nous venons de 

 présenter, il est manifeste que le nombre des propo- 

 sitions relatives aux racines primitives croît de plus 

 eu plus rapidement à fur-et-à-mesure que la base elle- 

 même devient plus grande. 



Nous terminerons ces indications par la citation de 

 quelques résultats qui se rapportent à une base im- 

 paire quelconque. 



Soit a un entier impair, que l'on prend pour base, 

 et supposons qu'on ait un nombre premier p > 2a, 

 que l'on met sous la forme 2an -4- / , r étant impair 

 et non supérieur à 2a — 1. Pour les deux valeurs 

 extrêmes de r, nommément pour r = 1 et r = 2a — 1, 

 nous obtenons 



\2an H- 1 / 



■)=(— l)*^ 



2anH-2a — 1/ *- -' 



[«-^1) = (_1)- 



.P — ' 



p-t-l 



