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des Sciences de Saint -Pëtersbonrg'. 



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Théorème 2"'=. Si p = 1 2« -+- 1 1 et ^^ =. Gn -t- 5 

 sont tous deux des nombres premiers , p — 3 := 

 12m -•- 8 sera une racine primitive de p. 



Puisque \>.^ ne peut être égal qu'à 1 ou à 6m -+- 5 

 qui est un nombre premier, et que d'ailleurs l'expo- 

 sant 1 doit être visiblement écarté, nous aurons sim- 

 plement, en vertu de la formule (13), 



3(^0 = 36"-^^^ = (_ ly^ e»-^') = -H 1 (niod. 1 2« H- 1 1). 



Prenons actuellement pour base la différence p — 3 

 = 12M-t- 8; nons aurons d'abord 



(j> _ 3)««-«-« = _ s^^-^s ^jjj^^_ 1 2w -t- 1 1), 



et, par suite de la congruence précédente, 



(p— 3r"^'-+-l=0 (mod. 12«-+- 11). 



Il est presqu'inutile de dire que 6w -+- 5 sera l'expo- 

 sant minimum ûe p — 3 qui satisfait à la dernière 

 congruence; si, par exemple, contrairement à cette 

 assertion, on supposait 



Qj — 3f -t-l = (mod. 12WH-11), 



V étant iuférieur à 6w-h 5, on en conclurait 



rt 3' -»- 1 = (mod. 12w-+-ll), 



ce qui ne peut avoir lieu, puisque la plus petite puis- 

 sance de 3, satisfaisant à la congruence dont il s'agit, 



= 6w 



La légitimité 



a été trouvée égale à ~ 



du théorème est donc établie. 



Voici quelques nombres premiers qui se rapportent 

 à ce théorème: 



Ajoutons encore une remarque très simple relative 

 aux nombres composés qui admettent des racines pri- 

 mitives. On sait que ces nombres ne peuvent être 

 que de l'une des deux formes p'" et 2^'", p étant un 



nombre premier. Pour les nombres premiers de la 

 forme^=:4M-4- 1 qui jouissent de la propriété d'avoir 

 des racines primitives conjuguées p et p — p , on peut 

 démontrer la proposition suivante: 



Soient p et 2) — p deux racines j)rimitives du nombre 

 premier p = 4m -+- 1 ; Vun de ces deux nombres , p ou 

 p — p , sera nécessairement une racine primitive d'une 

 puissance quelconque p^'* ou du double de cette puis- 

 sance 2p"'. 



Pour prouver cette proposition supposons, par 

 exemple, que p ne soit pas une racine primitive de 

 p^ ou 21)™; dans cette hypothèse on aura, comme 

 on sait, • 



P 



p — 1 . 



1 (mod. p'^), ou bien p' 



p-1 _ 



1 -*-p''E, 



E représentant un entier. En développant le binôme 

 (p — p)^"' on obtient 



{p-çr-' = ç^-'-^pE: 



E' n'étant pas divisible par p. Si l'on substitue à 

 p^^~' sa valeur précédente, on trouve 



ip-çr 



1 -+- (£'-!- i;E)i>. 



Or, puisque la différence 



, (^_p)^--l 



n'est divisible que par la première puissance de p, et 

 que d'ailleurs p — p est une racine primitive de p, 

 nous en concluons que ce même nombre p — p est 

 également une racine primitive de p^^ ou de 2p"\ 



Il peut arriver que les nombres p et ^ — p soient 

 tous deux des racines primitives de p"* ou de 2^/", ou 

 bien seulement l'un d'eux. Ainsi, par exemple, les 

 nombres 2 et 5 — 2 = 3 sont tous deux racines pri- 

 mitives de 5 et de 5'", tandis que 2 . 5*" n'admet que 

 le second d'entr'eux, c.-à-d. le nombre 3. 



L'analyse que nous avons employée dans cet ar- 

 ticle pour résoudre la congruence 



2.3*±r = (mod.P) 

 et les conséquences que nous en avons tirées, peuvent 

 être étendues, comme nous l'avons déjà dit, aux con- 

 gruences binômes exponentielles à base quelconque 

 et à la théorie générale des résidus. Sans entrer pour 

 le moment dans aucun détail sur ce sujet, sur lequel 

 nous comptons revenir prochainement, nous indique- 

 rons seulement, en terminant, quelques résultats dé- 

 tachés qui s'y rapportent. 



