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Bulletin de l'i^eadéinie Impériale 



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Cette dernière condition nous fait voir que les con- 

 gruences (17) ne seront solubles simultanément que 

 lorsque l'exposant mininmm de 3, que nous avons 

 représenté par ]x^, se rapportera à la congruence 



3M-o_h1:eeeO (mod. P); 



de sorte que, si la première des congruences (17) est 

 satisfaite, supposons, par la valeur x^=^'^, ^^^ étant 

 inférieur à [x^, on aura — {^^ — x) = [x^ ou à un 

 multiple impair de [i^; par conséquent la valeur mi- 

 nimuin de x sera x' ^= \}.^-y- jj.'^. Soit donnée, par 

 exemple, la congruence numérique 



11. 3' = — 4 (mod. 25), 



dont on veut déduire, en cas de possibilité, la solution 

 de la suivante: 



_ 11.3''' = -+-4 (mod. 25), 



qui ne diffère de la précédente que par le signe du 

 résidu 4. Comme dans le cas actuel on a jx^ = 10, et 

 que d'ailleurs 



3'°-+- 1=0 (mod. 25), 



on en conclut que les deux congruences sont compa- 

 tibles eutr'elles, et que l'équivalence (18) se réduit à 



S''' -'h- 1 = (mod. 25), 



d'oîi l'on tire x — 8 = 10, ou bien a;'= 18. 

 Si, au lieu de la congruence 



3^-4-1=0 (mod. P), 



on avait la suivante 



3^—1 = (mod. P), 



les congruences (17) seraient visiblement incompa- 

 tibles entr'elles. 



Kemarquons en passant que, lorsque le module P 

 est un nombre premier absolu, qui a 3 pour une de 

 ses racines primitives, les deux congruences (17) sont 

 toujours compatibles entr'elles. 



Nous allons présenter maintenant quelques propo- 

 sitions relatives aux racines primitives, propositions 

 qu'on établit très facilement en se fondant sur les 

 principes exposés plus haut. 



Théorème I". Si les nombres jj ^ 24w -+- 5 et ^-—^ 

 = 6w-t- 1 sont tous deux premiers, 3 sera une racine 

 primitive de p. 



Pour démontrer cette proposition il suffira de faire 

 voir que, dans le cas actuel, on aura la congruence 



3''o -<- 1 = (mod. p), 



l'exposant minimum [i étant égal à 



î(6«- 



^^--.... . 1). 

 Or, puisque jig doit être diviseur de ~— = 2(6jh- 1), 

 et que d'ailleurs 6n-+- 1 est un nombre premier, cet 

 exposant ne pourra être égal qu'à l'un de ces quatre 

 nombres 



1, 2, 6w-h1, 2(6w-+-1). 



Les deux premiers conduisent aux congruences 



3' ±1=0 (mod. 24w -1-5) 

 et 3'i±:l = (mod. 24«-t-5), 



dont la première doit être visiblement rejetée; quant 

 à la seconde , en y admettant le signe -+- devant 

 l'unité , elle ne conduit qu'à la valeur particulière 

 ^ = 5, dont 3 est une racine primitive. Restent donc 

 les deux derniers nombres 6h-+- 1 et 2(6w-i- 1). Il 

 est facile de voir que le nombre 6n -i- 1 doit être 

 écarté; en effet, si l'on admettait la congruence 



36n-Hi __ _^_ j |.jjjQ^_ 24« -+- 5), 

 on en tirerait 



32(6n-t-1)__j_ j ^jj^^^ 24» -t- 5), 



congruence impossible, car, en vertu de la formule 

 (13), on a 



(.-îïb)=(-i)^<'^*=(-i)*"*'=-'. 



ou bien 



32(6n-*-.) = _ 1 (moa_ 24W-1- 5), 



contrairement à la conclusion précédente. Donc, la 

 valeur minimum [i.^ sera ■^^^= 2 (6n ■+■ 1), et comme 

 de plus l'on a 



3^ H- 1 = (mod. 24w -+- 5), 



on en conclut la légitimité du théorème énoncé. 



Voici quelques nombres premiers^ qui, en vertu 

 de ce théorème, ont 3 pour racine primitive: 



p= 24w- 



29 



53 



149 



173 



= 6n 



7 

 13 

 37 

 43 



