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des Scic'iicosi de Saint -Féterstboiirg^. 



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11.3^=^72171 



25.2887. 



L'inspection du tableau précédent conduit à cette 

 suite de congruences pour le même résidu 4 : 



(mod. 25) 



L'opération , dont nous venons de proposer un 

 exemple numérique, peut être formulée d'une manière 

 en quelque sorte plus simple, et voici en quels termes: 



Pour résoudre la congruence (14) on formera d'a- 

 bord, comme tout-à-i'heure, les deux aggrégats M 1 

 et JVi: 2, relatifs aux valeurs de q et de r, et l'on opé- 

 rera à la manière ordinaire en commençant par l'élé- 

 ment 1*' de la colonne B 2, aj-ant soin d'indiquer 

 par des numéros l'ordre de succession des éléments 

 qu'on affecte d'astérisques. Soit ^^ le nombre total des 

 éléments ainsi marqués. Après cela on cherchera dans 

 la colonne As 2 le résidu r; supposons que le numéro 

 d'ordre de cet élément soit \i.i , en sorte que l'on trouve 

 ^r^^t; r*^\ devra être remplacé par r*', puisque c'est 

 par le résidu r qu'on est censé avoir commencé l'opé- 

 ration; de même l'élément suivant, portant l'astérisque 

 *((!.,-»- 1), devra être affecté de l'astérisque *2, et 

 ainsi de suite. De cette manière on sous-entendra que 

 les indices primitifs des astérisques doivent être rem- 

 placés par de nouveaux; voici ces deux suites en re- 

 gard l'une de l'autre: 



TABLEAU 3"". 



Observons que, si l'on augmente de [x^ les indices 

 primitifs à partir de 1 jusqu'à (x, — 1 inclusivement, 

 la différoiuc entre deux indices correspondants, pour 

 tous les couples, sera égale à [x, — 1. Cette relation 

 conduit de suite à la règle suivante pour la résolution 

 de la congruence (14): 



Cherchons d'abord dans la colonne .Vs 2 des rési- 

 dus, l'élément r, et soit jx, son numéro d'oidre indiqué 

 par l'iudice que cet élément porte. Cherchons ensuite 

 dans la colonne JV?. 1 le coefficient donné q, et soit jx^ 

 l'indice qui affecte l'astérisque de l'élément correspon- 

 dant à q dans la colonne j\:: 2. L'exposant cherché 

 a; = V qui satisfait à la congruence (14) sera égal à 

 jXj — iJ-i -♦- 1 ou à ix„ -*- [X. — [X, -f- 1 , suivant qu'on 

 aura ix., > jXi — 1 ou' IJ-2 < l^i — 1 ; d^"s le cas de 

 (x^ = jX| — 1 , la valeur de x sera jxu. 



Pour déterminer le signe ( — 1)^ du résidu r, ou, 

 ce qui revient au même, pour décider si S est pair 

 ou impair, on fera usage de la règle énoncée à l'occa- 

 sion de la congruence (16). On observera seulement 

 que comme cette règle est relative aux éléments de 

 la colonne Js 3 , dans laquelle l'opération est censée 

 commencer par le nombre r*', il faudra, dans le cas 

 actuel, substituer d'abord les nouveaux indices aux 

 indices primitifs dans les éléments du second groupe, 

 quand P= 6h-i- 1, et dans ceux du troisième groupe, 

 quand P = 6w h- 5; cette substitution est indiquée 

 par le Tableau 3"'^ Après cela, on comptera, combien 

 il y a d'indices non supérieurs à a; = v: ce nombre 

 d'indices sera précisément égal à S. 



Nous ne nous arrêterons pas sur plusieurs parti- 

 cularités que présente l'application de la méthode qui 

 vient d'être exposée, par exemple au cas où il s'agi- 

 rait de décider, si une congruence binôme numérique, 

 à base 3, admet, ou n'admet pas de solution. Les 

 questions de cette nature peuvent être facilement ré- 

 solues par les principes posés ci -dessus. Nous nous 

 bornerons à déduire les conditions de compatibilité 

 ou de l'incompatibilité des deux congruences 

 g.3^ = — »-(mod.P) et 5. 3''' = -h r (mod. P). (17) 



Supposons qu'une de ces congruences ayant lieu 

 pour q et r premiers à P, on veuille savoir, si l'autre 

 est possible. Eu additionnant ces deux congruences, 

 et écartant le facteur g. 3^ ou g. 3^', on aura 



3±(^-^)_Hi=0 (mod. P) (18) 



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