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Bulletin de l'/%cad(^niîe Impériale 



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Il est bon de remarquer que l'opération qui con- 

 siste à passer d'un élément à un autre, a été exécutée 

 ici non sur les nombres de la colonne JV?. 1 , comme 

 précédemment, mais sur ceux des colonnes JVs 2 et 

 JVs 3 qui contiennent ces mêmes éléments, mais distri- 

 bués suivant l'ordre artificiel expliqué plus haut. Nous 

 en verrons plus bas la raison. 



Pour faire usage de ce tableau, observons avant 

 tout que les deux équations (4) et (10), successive- 

 ment appliquées aux éléments y\., iji-, y^ 2/v-«-i' 



conduisent, toutes les deux, à la congruence 



2/v-.i = (— 1)^3\2/. (mod. P) 

 qui revient à 



2/,.3^^(-l)^,^,(mod. P) (16) 



Le signe ( — 1) , ou, ce qui revient au même, la 

 parité ou la non-parité de S se détermine de la même 

 manière que dans les formules (8) et (11). lorsque le 

 module F est de la forme 6« -+- 1 , comme dans 

 l'exemple actuel, S sera égal au nombre des éléments 

 du 2''' groîqye de la colonne JVs 3 , affectés d'asté- 

 risques, dont les indices ne surpassent pas l'exposant 

 V. Pour P = 6w -H 5 , S équivaudra au nombre des 

 éléments du 3^" groupe, marqués d'astérisques, por- 

 tant des numéros qui, également, ne dépassent pas v. 



Les deux congruences (14) et (IG) deviennent iden- 

 tiques, lorsque l'on pose 



y\, 



r = y. 



1' 



et c'est pourquoi la première colonne du tableau pré- 

 cédent a été prise pour représenter les valeurs du 

 coefficient q, et les deux autres pour celles du résidu 

 r. C'est aussi à raison de cette distinction entre l'ag- 



grégat J\'s 1 et les deux aggrégats J\s 2 et J\'?. 3 , moti- 

 vée par la forme de la congruence (16), que nous opé- 

 rons non sur les éléments de la colonne K?. 1 , comme 

 précédemment, mais sur ceux des colonnes As 2 et 

 JVs 3. Observons de plus que, dans la colonne X?- 2, 

 nous avons fait suivre les astérisques de numéros qui 

 indiquent Tordre dans lequel les éléments se présen- 

 tent successivement en commençant par l'élément 1*'; 

 dans la colonne A*?. 3 le même ordre a été observé, 

 mais l'opération a été commencée par l'élément 4*\ 

 Pour le moment nous nous en référons à la colonne 

 m 3. 



Puisque, dans l'exemple actuel, la valeur numé- 

 rique de r est 4, nous commençons l'opération par ce 

 nombre, et nous le marquons d'un astérisque suivi de 

 l'indice 1, comme on le voit dans la colonne JVs 3; 

 après cela nous marquons le second élément 7*^ qui, 

 dans la colonne As 1 , correspond à ce 4*^; on obtient 

 de la même manière le troisième nombre 6*^, le qua- 

 trième 2*'' et ainsi de suite jusqu'au dernier 12*'", en 

 regard duquel, dans la colonne A? 1 , se trouve le 

 nombre 4, par lequel nous avons commencé. Cette 

 opération terminée , nous pouvons déterminer , au 

 moyen des deux colonnes As 1 et X?. 8, non-seulement 

 la solution de la congruence (15), mais encore celles 

 de l'équivalence plus générale 



g.3''=±4 (mod. 25), 



q étant égal à l'un quelconque des nombres de la suite 

 1, 2, 3. ... 12, en en exceptant seulement 5 et 10, 

 pour lesquels la congruence est évidemment impos- 

 sible. Si l'on observe que la valeur g^= 1 1 correspond, 

 dans la colonne A";: 3, au nombre 8**, dont l'astérisque 

 porte le 8"°' indice d'ordre, on en concluera que v = 8, 

 c'est-à-dire que l'on a 



11.3* = zt4 (mod. 25). 



Le signe du résidu 4 se détermine par la règle don- 

 née à l'occasion de la formule (16): comme, dans 

 notre exemple, le module P est de la forme 6»-f- 1, 

 il faut voir combien, dans le second groupe de la co- 

 lonne A?. 3, il y a d'éléments marqués d'astérisques, 

 dont les numéros d'ordre ne surpassent pas v = 8; 

 or, comme on trouve que ces éléments, nommément 

 1*\ 4*', 7*^, sont au nombre de trois, on en conclnt 



que S = 3 , et par conséquent (- 

 effet on a 



ir 



1. En 



