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des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



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tous congrus à 2 suivant le module 3. Or ce nombre 

 qui, remarquons-le en passant, ne diffère pas dans le 

 cas actuel de celui des termes du 2'' groupe, est égal 

 à w -H 1 ; on aura donc 



5''^^{^)=i-ir-^\^riod.6n-^6). (12) 



Les deux formules (9) et (12) peuvent être rempla- 

 cées par une formule unique en observant que l'en- 

 tier compris dans ^^^ se réduit à n pour p = 6n-t-l 

 et à w -H 1 pour p = 6n-\- 5. On aura donc généra- 

 lement 



(!) = (- D^m (13) 



Nous observerons à propos de cette formule qu'une 

 expression analogue subsiste pour le symbole (-] qui 

 peut être exprimé ainsi: 



(i) = (_lf(^-^). 



Pour le démontrer, il suffira de faire voir que les 

 deux entiers 



E 



i'-i") 



et 



p^—i 



sont simultanément pairs ou impairs. Or, en consi- 

 dérant le nombre premier p sous les deux formes 



p = 4w-i-l et p = én~t-3, 

 on trouve 



pour p= An -t-1, Er^^) = n, 



^' = w(2w-Hl); 

 pour p = An -+-3, E(~-\ = n-i-\, 

 ^ = (w-+-l)(2w-t-l), 



et comme ^-ê— est égal, dans l'un et l'autre cas, à 



l'entier £j(-^^^j multiplié par le nombre impair 2w-+-l, 



il s'en suit que la parité ou la non -parité de ^^-^ 



entraîne nécessairement celle de £j(~-j. - 



Il est facile de voir que l'expression de (-j que 

 nous venons de donner, rentre dans celle, un peu 

 moins simple, que l'on trouve dans l'ouvrage: Vorle- 

 sungen iiber Zahlentheorie von P. G. Lejeune-Birichlet; 



Tome XIV. 



berausgegeben von R. Dedekind, 1863. Au lieu de' 



l'exposant Ei^~\, on y voit figurer (page 103) la 



différence 



P-i 



■E 



(f> 



Pour montrer l'identité de ces deux expressions il 

 n'y a qu'à observer que, pour p=z 4n-+- 1, on a 



Ei^^)=n, ^^ = 2«, E(f) = «, 

 et par suite 



De même, pour p = An-t- 3, on trouve 



E{^^-^)^n~.l, ^^=2h-^1, Eil) = n, 

 d'oîi, également, 



*î-'-s(î)=^f^)=— 1- 



Après avoir déterminé par la méthode exposée plus 

 haut la solution minimum x = ^^àQ la congruence 



3^ = ±l (mod. P) 



pour un module impair quelconque P, on trouvera de 

 suite les autres solutions par la considération des 

 multiples de [i^. 



Passons à l'application du même procédé à la ré- 

 solution, lorsqu'elle est possible, de la congruence 



2.3'^ = ±r (mod. P), 



(14) 



q Qi r étant premiers à P, et, de plus, pouvant être 



supposés tous deux inférieurs à 



p-t-i 



eu égard au 



double signe de r\ par conséquent g et >• seront des 

 nombres compris dans la série 



1, 2, 3, 



L'exemple numérique que nous plions présenter éclair- 

 cira suffisamment la manière de procéder en géné- 

 ral. Soit donc proposé de résoudre la congruence 



11. 3'= ±4 (mod. 25);. 



(15) 



puisque P= 25, le nombre des éléments sera égal à 

 "^~^ = 12, et nous formerons avec eux, comme dans 

 notre premier exemple, le tableau suivant: 



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