68 BOLETÍN DE LA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA 



La identidad del índice de altura con la fórmula 



seno B x seno P 

 senoN 



permite calcular aquél sin construir el triángulo, si hemos hallado 

 por trigonometría los ángulos; pero puede convenir en algunos ca- 

 sos calcular el índice sin haber calculado los ángulos. Para tal caso 

 podemos utilizar la fórmula trigonométrica del área 



S' = ^=p{p-a){p-b){p-c\ 



en que la h es la altura sobre el lado ¿z y /? es el semiperímetro. 



De esta fórmula se puede deducir el valor de h en función de p, 

 a, by c. 



Si en vez de a, b y c ponemos los lados del triángulo facial 

 PB, PN y NB, y llamamos P al perímetro, podemos transformarla 

 fórmula de manera que nos dé: 



h Vp(p — 2.PB)(P — 2.PN)(P — 2,NB) 



PB 2.PB'^ 



que resuelve el problema con facilidad mediante logaritmos. Ello 

 me ha llevado a descubrir un error de cálculo en mi Memoria por 

 lo que se refiere a los cráneos masculinos de Mogador, segundo 

 tipo: su índice de altura no es 70,9, sino 67,1; este último valor es 

 causado por un error en el cálculo de los ángulos; el ángulo N 

 no es 65^ 18', sino67o 18', y el ángulo B no es 42° 36', sino 40° 36'. 

 Quedan, por tanto, estos cráneos mucho más lejanos de los vascos 

 de como aparecen en las figuras 6.^ y 7.^, viniendo a coincidir con 

 los de San Juan de Luz. 



Indicaba en la Memoria (pág. 393) (35) que desde 66,0 para arri- 

 ba todos los promedios se refieren a razas boreales, y que las razas 

 australes quedan todas en los índices de 64,0 para abajo. Además 

 de hacer la salvedad de que con estas últimas quedan los ainos, los 

 cuales geográficamente no son australes, como tampoco lo son los 

 dos cráneos prehistóricos de Francia citados, es de advertir que los 

 dravidas y singaleses, weddas y birmanes habitan algunos grados 

 al Norte del Ecuador. También conviene hacer la salvedad de que 

 muy probablemente no corresponderían a este tipo austral de trián- 

 gulo facial las razas americanas y polinesias. 



La gran amplitud de variación de este índice, que en los cráneos 



