§ 12. EENDUIDIGHEID DER QUANTENFORMULES. 



Men kan in het algemeen aantoonen dat de ontwikkeling der 

 koordinaten en momenten q en p naar ƒ (eventueel bij ontaarde 

 S3'stemen naar ƒ— A) hoekvariabelen, tusschen wier middelbare 

 bewegingen geen rationale betrekkingen bestaan, slechts op één 

 manier mogelijk is. Hieruit volgt dat de qnantenvoorwaarden 

 in de boven gegeven formuleering (verg. 9 en 10, § 11) eenchddu/ 

 bepaald zijn. 



Bewijs dat een grootheid q, welke een funJdie is van den tijd, 

 slechts op één loijzc in een FouRiER-reefe naar hoekvariabelen ont- 

 ivikkeld kan worden. 



(Ter vereenvoudiging wordt ondersteld dat slechts twee hoek- 

 variabelen in de ontwikkeling voorkomen, en dat alleen cosinus- 

 termen aanwezig zijn). 



Stel dat de grootheid q{t) op twee verscliillende wijzen naar 

 twee hoekvariabelen ontwikkeld kan worden : 



a) q (t) = ^ Ahk cos {h . Qi + k . Qz) 



b) q [t] — ^ Amu cos (to . Qi + n . Qo) 



waar : 



Q^ z= (Oi . i + 5l ^1 =r tüi . ^ + f 1 



Q2 ^^ Oi<2, . t -\- èo Qo ^^^ ^2 • ^ "T ^2 



(de verhouding toi/wg is onmeetbaar; evenzoo 001/0)2). Aangenomen 

 wordt dat deze reeksen gelijkmatig en voldoende sterk konver- 

 geeren, zoodat men term voor term mag integreeren en de 

 limiet mag nemen ^). 



Vermenigvuldig q {t) met : cos {h . wi -}- k . 102) t en bepaal : 



7' 



Lim ^^ / dt . q . cos {h . wi -[- /.• . 102) t 



ï") De reeks mag vermoedelijk ook een zcr. asymptotisnhe reeks zijn. Veri^elijk 

 H. PoiNCAiiK, Mécaiiique Céleste II. 



4 



