42 TOEPASSING VAN DE THEORIE DEK QUANTA [§ 10. 



B) " Gedurende de beweging kan geen der koordinaten of mo- 

 menten tot in het oneindige aangroeien; allen Inlijven beneden 

 zekere eindige grenswaarden i). 



C) Het systeem bezit oplossingen van den volgenden vorm: 



qi =qi{Pi ... Pf,Qi... Qf) I .. 



Pi=pdPi ... Pf,Q,... Qf), ) ^ ^ 



waarin : 



1) Pi ... P/- ƒ integratiekonstanten zijn (de „intensiteitskon- 



stanten") ; 



2) Qi . . . Qf lineaire funkties zijn van den tijd: 



Q. = ,,.,t + ëi (3) 



(t'i ... f ƒ zijn de overige ƒ integratiekonstanten, de „faze- 

 konstanten") ; 



3) De q's en p's periodieke funkties zijn van de Q's met periode 

 27r 2). 



De grootheden Qi . ■ . Qf worden hoekvariabelen genoemd 

 („Winkelkoordinaten", cf. Öchwarzschild, l.c); oj^ ... lOf 

 zijn de middelbare beivegingen ^). 

 D) Aangenomen wordt dat de P's zoo bepaald zijn dat: 



1) de transformatie van de variabelen qi ... pf naar de 

 variabelen Qi . . . Pf een kontakt-transformatie is ^), zoodat : 



^Pi.dqi^:EPi.dQi + dW{P,Q) (4) 



i i 



waar d W de totale differentiaal van een funktie 

 W {P, Q) is ; 



') Met koordinaten is hier bedoeld: Cartesische koordinaten der systeenipunten. 



Over de reeds genoemde hyperbolische beweging en over translatie-bewegingen 

 zie men i^ If). 



^) Deze iuiikties zijn in het algemeen trigonoHK^trische reeksontwikkelingen 

 naar sinussen eu cosinussen van kombinaties der Q's (meervoudige Fouriick- 

 reeksen). Zooals l)ekend is, worden dergelijke reeksen zeer veel gebruikt in de 

 Astronomie, vooral bij de behandeling van st(>rings])roblemen. 



•■') Het is niet onmogelijk dat zoodra de voorwaarde B vervuld is, het systeem 

 noodzakelijk oplossingen van den in C aangegeven vorm bezit. Door Poincark 

 is aangetoond dal de beweging van een mechanisch systeem dat aan li voldoet 

 in het algemeen periodiek of' quasi-periodiek is (Zie Mécanique (!»'leste III). 

 Misschien zal het gidukken aas te toduen dat een systeem dat aan I! voldoet 

 ook steeds oplossingen heeft die met hoekvariabelen uitgediukt kun.n(Mi worden. 



'*) Zie b.v. WiiiTTAKKK, Analytical Dynamics, ('ambridge 11)17, p. 2.S.S. 



