60 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER UUANTA [§ 14 



gende waarden li en ?;,- van qi nul van de orde 1\2; tusschen 

 ti en i]i is Fi reëel ^). 

 (2) Op een bepaald oogenblik ligt elke koordinaat qi tusschen 

 deze wortels li en tji . 

 Dan kan bewezen worden dat elke qi een lihratie-heweging 

 uitvoert tusschen deze grenzen 2). 



Bij deze systemen luiden de quantenformules: 



2 n Pk= \ 'Pk • d qu— \ d qu . F^ {q a- «i . . . «/ ) — 



= ƒ/, («1 . . . «ƒ) = nj: . h . . . . {8) 



Bij de integratie loojjt q^ eenmaal tusschen 1^ en //a; op en neer 

 (aangeduid door <> onder het integraalteeken te schrijven) ^). 



'Deze quantiseering der z.g. „faze-integralen" Ik is voor syste- 

 men van 1 graad van vrijheid reeds ingevoerd door Planck, 

 Hasenöhkf., Debye en Ehrenfest; op systemen van meer gra- 

 den van vrijheid is ze uitgebreid door Hommerfeld, Epstein en 



SCHWARZSCHILD "*). 



Het bewijs dat deze quantenformules in overeenstemming zijn 

 met § 10 en 11 zal hier achterwege gelaten worden; men zie 

 hiervoor: K. Schwarzschild, Sitz. Ber. Berl. Akad. }>. 548, 1916 

 en P. S. Epstein, Ann. d. Pliys. 51, p. 176, 1916. 



Opmerkingen. 



I) Bij de problemen der elektronen-l)eweging, en eveneens bij 

 vele andere waar poolkoordinaten gebruikt worden, komt onder de 

 koordinaten een azimuthale hoek if voor, welke onbegrensd kan 

 toenemen, terwijl de korrespondeerende pq (het moment van 



•) In de gewoonlijk voorkomende gevallen is Fi de wortel uit een rationale 

 funktie; b.v. bij harmonische trillingen: 



p = F{q) = \/"2 m a — Aq-^ 



Zie verder de behandelde speciale problemen (hoofdstuk 111 j. 



*) Zie b.v. CiiARMEK, Die Mech. d. Himmels 1, p. S6, lOO. 



•■) Deze integralen krijgen een eenvoudige beteekenis wanneer men qi als kom- 

 plexe variabele opvat. Cf. A. Sommkki'kld, Phys. Zeitschr. 17, p. 500, 1916. 



*) M. Planck, Congres Solvay, 1911, p. 99. — F. Hasknöiiri., Phys. Zeitschr. 

 12, p. 9.31, 1911. - P. ÜEiiVE, Gött. Vorlesungen (Teubner 191.'}). — P. Ehren- 

 KEST, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 15, p. 4.')3, 1918. — A. Sommkrfeld, Sitz. Ber. 

 Bayr. Akad. p. 425, vgl., 1915. — P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 489, 

 191G. — K. Schwarzschild, Sitz Ber. Berl. Akad. p. 548, 1916. 



