§ 13. opmerkin(;ex over ontaarde systemen. 



Volgens liet l)Ovenstaaiide moet men bij een systeem waar l 

 rationale betrekkingen bestaan tiisschen de middelbare bewe- 

 gingen, slechts ƒ — /. quanten voorwaarden invoeren. Het aantal 

 der quantenvoorwaarden is dus gelijk aan het aantal der onder- 

 ling onmeetbare „grondperioden" van het systeem. Hierop is 

 het eerst gewezen door K. Schwarzschild i). 



In sommige gevallen heeft men echter meer quantenvoor- 

 waarden ingevoerd dan het aantal der grondperioden bedraagt, 

 zoo o.a. bij de elliptische beweging van een" elektron om een 

 atoomkern. Hier is slechts 1 periode (de beweging is exakt 

 periodiek); Sommerfeld heeft echter twee quantenvoorwaarden 

 ingevoerd, waarvan de eene betrekking heeft o}) de azimuthale, 

 de andere op de radiale beweging 2) 3) 



In het algemeen komt dit hierop neer dat men behalve 

 Pi ... . P/-/. (verg. bl. 44) ook de grootheden P/_;.+ ! . . . Py, of 

 tenminste sommige ervan quantiseert. Bij deze „overtollige" 

 quantiseering (welke geen invloed heeft op de waarde van de 

 energie) kunnen tegenstrijdigheden optreden ; het blijkt dat men 

 door van verschillende oplossingsmethoden gebruik te maken 

 (b.v. door verschillende koordinatensystemen in te voeren) tot 

 verschillende stelsels grootlieden P/_a^] . . . . P/ kan komen, 

 welke niet door lineaire substituties met geheele koefficienten 

 en determinant -I- 1 verbonden zijn. 



Een voorbeeld hiervan is de bovengenoemde elliptische be- 

 weging. Uitgaande van poolkoordinaten komt men na eenige 



>) K. ScHWARzscHiLi), Sitz. Ber. Berl Akad. li»l»j, p. 548. 



»") A. SoMMKRKEi.n, Sitz. Ber. Bayr. Akad. IVUó, p. 43G; Ann. <i. Phys. 51, 

 p. 17. 191t3. 



') Dit heeft betrekking op het geval dat men de relativiteitskorrekties ver- 

 waarloost. Brengt men deze in rekening, dan is de beweging niet meer exakt 

 periodiek; in dit geval mneten er twee (juantenvoorwaarden ingevoerd worden 

 lef. hoofdstuk 111, $ !;•>. 



