244 ADTABATISCIIE BEÏNVLOEDING [§ 39. 



uitdrukking nul, en dus is: 



Um.'^l''^ — 1) (12) 



o a 



Opmc^'kingcn. 



1) In liet bovenstaande is steeds aangenomen dat er geen 

 rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare bewe- 

 gingen. Deze middelbare bewegingen zijn echter in het algemeen 

 i'unkties van de parameters a, zoodat hun waarden veranderen 

 bij de variatie der a's. Dan loopcn liun verhoudingen voortdurend 

 door rationale waarden heen ~). 



In hoeverre dit tot moeilijkheden aanleiding kan geven is nog 

 niet nader onderzocht. 



In verband hiermee moét het volgende opgemerkt worden : 



Steeds is omtrent de gebruikte reeksontwikkelingen aange- 

 nomen dat ze gelijkmatig en voldoende sterk voor alle waarden 

 van t konvergeeren. Dit schijnt bij vele problemen niet het geval 

 te zijn ; de meeste reeksen die in de astronomische mechanika 

 gebruikt worden zijn z.g. asymptotische reeksen ^). 



Hierbij schijnt ook de kwestie van het al of niet aanwezig- 

 zijn van rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewe- 

 gingen van belang te zijn: het kan voorkomen, dat men zoodra 

 er rationale betrekkingen tusschen de w's bestaan, reeksontwikke- 

 lingen moet gebruiken welke niet aansluiten bij die voor naburige 

 problemen, waar deze rationale betrekkingen niet bestaan 4). 



Al deze problemen moeten grondig onderzocht zijn, voordat 

 de theorie der adial)atische invarianten op vasten grondslag 

 gesteld kan worden. De laatstgenoemde (over de konvergentie 

 der reeksen) zijn trouwens ook voor de geheele tlieorie der lioek- 

 variabelen van groot belang. 



Het is mogelijk dat alle theorema's over de ontwikkeling 

 naar hoekvariabelen en wat hiermee samenhangt, slechts uit- 

 gesproken mogen worden voor een begrensd tijdsverloop 7', 



') Cf. J. M. Burgers, l.c. p. 1058. 



») Idem, p. 1061. 



') Zie b.v. een interessant artikel van K. Sciiwah/.sciiii.h, Pliys. Zeitschr. 4, 

 p. 7G.Ó, 1903: ('ber Hininielsmechanik. 



*) Vergelijk in verband liierniec: E. T. AViiittaki:!!, On the Adelpbic Integral 

 (if tlic Equatiuns of Dynamics, Proe. Roy. Soc. Edinbnrgb 37, p i'.'), 1!>17. 



