Kl). COLLIGNON. — PROBLÈMES SLU l.KS CORI'S FLOTTANTS 14 



r 



■ce qui représente une ellipse, dont les demi-axes sont - suivant GX, 

 et 2sp suivant GZ. 



Appliquons ces considérations à l'ellipsoïde homogène dont la surface 

 a pour équation 



7.2 1/2 -2 



^2 ^ ,^2 n- ^2 



La condition relative à l'homothétie des sections horizontales est satis- 

 faite d'elle-même. L'origine est d'ailleurs le centre de gravité du corps. 

 Nous supposerons m < », pour que le rayon de giration corresponde 

 dans chaque section à l'axe de l'ellipse parallèle à GY. Pour une ellipse 

 dont le demi petit axe est x, le rayon de giration par rapport à l'autre 



X 1 



axe est égal à. - ; donc a = ^ ; et l'équation de la coupe par le 



plan XGZ est par suite 



1 1 1 



4 4 ' 4 



ce qui représente un cercle de rayon m. Pour que ce cercle appartienne 

 à la surface donnée, il faut et il suffit que l'on ait m = l, ou que 

 l'ellipsoïde soit de révolution autour de l'axe GY. Il est aisé de le vérifier. 

 On a, en effet, en faisant les opérations, 



T.m7i ' "■"'^'^'^ 



I - aV = ^- (m^ - l'^)\\ - -^ 



fonction indépendante de z lorsque l'on a m=l; elle se réduit alors 

 à zéro, ce qui doit être, puisque la coupe horizontale de la surface à son 

 point le plus bas se réduit à un point. 



Étant donné un corps flottant, dont le poids total soit P, et dont G soit 

 le centre de gravité, si ce corps est dans un état d'équilibre indifférent, 

 pour une immersion déterminée, on pourra toujours rendre l'équilibre 

 stable, en enlevant du corps par un plan horizontal une tranche du volume 

 immergé, sous les conditions suivantes : 



1° Le plan sécant doit être tel que les centres de gravité des deux 

 tranches du volume immergé qu'il sépare, soient tous deux situés sur la 

 verticale GZ; 



2° Le poids total P doit être diminué du poids du liquide correspondant 

 au volume de la tranche supprimée; 



3<» Enfin les poids des parties conservées pour le corps doivent être 

 réglés de telle sorte, que le point G reste le centre de gravité de leur 

 ensemble, comme avant la suppression. 



