26 MATHÉMATIQUES, ASTKOXOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



s'agit des courbes planes, les seules dont nous voulions nous occuper dans 

 ces remarques, il s'ensuit qu'une courbe unicursale est représentée par le 

 système des deux équations 



II) X = — 1 ij ^ — — - ' 



en supposant que l'on donne à t toutes les valeurs réelles de — go à -j- ^ • 

 Le calcul des équipoUences se prête d'une façon naturelle à l'étude de 

 ces courbes. Si nous appelons, en effet, Z le point variable de la courbe, 

 l'angle des axes coordonnés, et si nous prenons l'axe des x pour origine 

 des inclinîiisons, il s'ensuit que OZ = z = a; -j- ys", ou 



Dans cette relation, /"(/) représente une fonction entière, mais imaginaire 

 en général, du paramètre variable réel t; (f{t) représente une fonction 

 réelle entière du même paramètre. Mais si nous considérons l'équipoUence 

 générale 



(3) z -. /W 



sans aucune restriction sur la nature des fonctions entières /'et 9, la courbe 

 représentée par cette équipoUence n'en est pas moins unicursale. Il suffit, 

 pour le reconnaître, de multiplier les deux termes par la fonction conjuguée 

 de 9, ce qui donnera au dénominateur une fonction réelle, et ce qui fera, 

 par conséquent, rentrer la forme (3) dans la forme particulière (2). 



Suivant les cas, nous pourrons donc supposer que le dénominateur -^(t) 

 est une fonction réelle ou imaginaire. 



11 y a lieu tout d'abord de faire une observation importante. Si dans les 

 équations (1) nous venons à remplacer t par une fonction rationnelle quel- 

 conque d'un nouveau paramètre t', le résultat de l'élimination de t' entre 

 les deux équations sera le même que celui de l'élimination de /. Il semble 

 donc que la courbe restera la même. Cela n'est pas vrai cependant d'une 

 manière complète; en voici la preuve ^ar un exemple bien simple. Soient 



X =: al -\- b, ij ^= ciyt -\- b^ 



les équations d'une droite. Posons t = l"^. Nous avons : 



X = al"^ + ^> y = ^1^'" ~\- ^1 



et il saute aux yeux que les points qu'on peut obtenir sont ceux d'une 

 semi-droite, et non plus de la droite tout entière. En outre, chacun des 



